7.9. ДВИЖУЩИЕСЯ АТОМЫ И ТЕОРЕМА ПЛОЩАДЕЙ

Результаты разд. 7.8 демонстрируют существенные нелинейности распространения когерентного оптического импульса в их простейшей форме. Так как определяющее уравнение является уравнением sine-Gordon, то задача может быть подробно проанализирована с помощью известных (описанных в разд. 5.2) решений этого уравнения. Можно также ввести соответствующие линейные уравнения, как это было сделано в разд. 5.2, и перейти к анализу обратной задачи рассеяния.

Распространение теории на случай движущихся атомов и переменной фазы обеспечивает дальнейшее уточнение, приводящее к более удовлетворительному согласию между теорией и экспериментом. Кроме того, с появлением в уравнениях (7.6.9) и (7.7.5) параметра расстройки уравнения, описывающие физику задачи, сами уже имеют вид, который можно проанализировать методом обратной задачи. Это ситуация, аналогичная описанной в разд. 7.4 для спиральных кривых. В этой связи следует отметить подобие между уравнениями Блоха (7.7.5) и скалярной компонентой уравнений Серре — Френе (7.3.3).

В этом разделе мы учтем параметр расстройки но по-прежнему будем пренебрегать медленными изменениями фазы Этот последний член будет рассмотрен в следующем разделе при введении более общего метода обратной задачи рассеяния.

Прежде чем изучать профили импульсов, получим очень простое соотношение, показывающее, как распространение импульса в аттенуаторах и в усилителях влияет на полную площадь под импульсом, определенную выражением

Результат, называемый теоремой площадей, дает общее представление о многих чертах этого процесса (82].

Теорема площадей может быть получена из (7.7.3а). Интегрируя по времени, получим

Перепишем подынтегральное выражение, заметив сначала, что из (7.7.5а) и можно получить

Мы опять положили равным нулю член поскольку, как указывалось ранее, мы пренебрегаем изменениями фазы. Интегрирование (7.9.3) и разделение действительной и мнимой частей дает

Если подставить это выражение для в (7.9.2) и поменять порядок интегрирования по и что потребует указанного изменения пределов, мы получим

Подставляя в последний интеграл и вспоминая, что находим

т. е. изменение площади происходит только за счет резонансных атомов. Выражения для были получены в разд. 7.8, где было найдено, что а также . С этими представлениями интеграл (7.9.6) может быть вычислен, и мы имеем

где

Физический смысл постоянной а следует непосредственно из линеаризованного варианта уравнений (7.9.7), в котором заменяется на 8. Тогда видно, что площадь растет или уменьшается на характерной длине . В пределе, когда превращается в -функцию, так что восстанавливается предел sine-Gordon, мы находим, что становится бесконечной, а характеристическая длина стремится к нулю.

Решение уравнения (7.9.7), удовлетворяющее условию при имеет вид

и схематически изображено на рис. 7.4.

Рис. 7.4. Теорема площадей — график решения вида (7.9.9). (С разрешения Американского физического института.)

Так как уравнение (7.9.7) содержит два знака, это фактически два различных дифференциальных уравнения. Два решения этих уравнений можно увидеть на рис. 7.4: если читать диаграмму справа налево, то получится решение для знака плюс (усилитель), если слева направо — для знака минус (аттенуатор). Следовательно, в усилителе бесконечно малая площадь будет возрастать до а в аттенуаторе любая площадь меньше будет убывать до нуля. Этот второй результат допускает не только хорошо известное затухание распространяющегося в аттенуаторе импульса, но также и эволюцию его в ненулевой импульс с нулевой площадью, т. е. импульс, для которого полная площадь под огибающей равна нулю, но площадь под энергией импульса не равна нулю. Это возможно, когда площади под положительными участками огибающей импульса равны площадям под отрицательными участками. Как указывалось выше, участки с положительной и отрицательной огибающей — это просто области, в которых у несущей волиы относительная разность фаз равна 180°. В аттенуаторе площади начальных импульсов в интервале от до будут эволюционировать в стационарный -импульс самоиндуцированной

прозрачности. На рисунке показано также, что. в усилителе -импульс неусточив и будет эволюционировать либо в либо в -импульс.

Рис. 7.4 относится только к полной площади импульса и не дает никакой информации ни о возможном распаде импульса на два или более импульсов той же полной площади, ни о том, будет ли непрерывно усиливающийся -импульс сохранять площадь посредством сужения импульса или же посредством развития отрицательных участков огибающей.