8.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БЭКЛУНДА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ДРУГИХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЯ

Преобразования Бэклунда для нелинейных эволюционных уравнений, связанных с линейной системой

где действительная величина, можно получить путем простого обобщения на случай двух уравнений той процедуры, которая была использована для уравнения Кортевега — де Фриза в предыдущем разделе. Можно было бы также определить преобразования Бэклунда для одного уравнения с комплексным потенциалом [115]. Введем дополнительную систему линейных уравнений

и допустим, что связаны соотношением

где есть -матрица с элементами Используя (8.2.1), можно соотношение (8.2.3) переписать в виде

В случае так что подстановка (8.2.4) в (8.2.2) дает

Эти уравнения имеют первые интегралы означающие, что Следовательно, соотношение можно переписать в виде

Полагая и интегрируя, получаем Постоянная интегрирования выбрана так, чтобы В обращалось в нуль при обращении в нуль Полагаем для простоты и из второго и третьего уравнений (8.2.5) получаем

Это уравнение первого порядка, связывающее является одним из уравнений преобразований Бэклунда. Другое уравнение преобразований Бэклунда, связывающее временные эволюции зависит от рассматриваемого эволюционного уравнения. Это соответствует той роли, которую играют в методе Захарова — Шабата две пары линейных уравнений. При изложении метода обратной задачи мы нашли, что система (5.4.2) для пространственной зависимости одна и та же для всех уравнений, в то время как система (5.4.1) для зависимости от времени содержит коэффициенты зависящие от рассматриваемого эволюционного уравнения.

Прежде чем перейти к конкретному случаю, отметим, что выписывая систему четырех уравнений, подобных уравнениям (8.1.14) и (8.1.15), мы получим, что из (8.2.7) следует теорема перестановочности. После применения тригонометрических формул получаем

где В этом результате есть выбор знаков, так как линейные уравнения (8.2.1) связаны с эволюционными уравнениями, для которых функция является решением, если им является функция При выборе в (8.2.8) нижнего знака получается стандартный вид георемы перестановочности для уравнения sine-Gordon. Решение которое может быть получено из теоремы перестановочности (8.2.8), применяется к решениям всех эволюционных уравнений, которым соответствуют линейные уравнения (8.2.1). Как указывалось выше, различия между разными солитонными уравнениями определяются уравнением преобразования, связывающим производные по времени.

Пример — уравнение sine-Gordon

В разд. 5.2 мы видели, что уравнение sine-Gordon связано с системой Захарова — Шабата, если в системе (8.2.1) положить В наших теперешних обозначениях, где это означает, что Теперь мы можем записать уравнение для преобразования Бэклунда (8.2.7) в виде

Дифференцируя это соотношение по времени и замечая, что о и о удовлетворяют уравнению sine-Gordon, получим

(кликните для просмотра скана)

Рис. 8.3. (см. скан) Трехсолитоиное взаимодействие для уравнения sine-Gordon.

Пользуясь тождеством и полагая получим другое уравнение преобразования Бэклунда:

Теперь этот результат вместе с (8.2.9), которое теперь имеет вид

дает преобразование Бэклунда для уравнения sine-Gordon. Именно эти уравнения были получены Бэклундом при рассмотрении задачи дифференциальной геометрии ([34], с. 284).

Использование уравнений преобразования (8.2.11), а также теоремы перестановочности (8.2.8) для получения тех решений, которые теперь называются многосолитонными решениями

уравнения sine-Gordon, началось с работы Сигера [98] (1953 г.). В частности, по теореме перестановочности (8.2.8), следуя методу, используемому в предыдущем разделе для уравнения Кортевега — де Фриза, получаем двухсолитонные решения уравнения sine-Gordon. Однако в этом случае нет расходящихся решений.

Чтобы выйти за пределы двухсолитонного решения, иногда удобно ввести диаграммное представление преобразования Бэклунда (8.2.11).

Рис. 8.4. (см. скан) Диаграммное представление преобразований Бэклунда для взаимодействия двух бризерных решений модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза (сравните с рис. 5.2).

Преобразование от решения - к решению а, с параметром представляется, как показано на рис. 8.1, а. На рис. 8.1,б показана диаграмма теоремы перестановочности. Можно объединить эти диаграммы и получить аналитические выражения, описывающие взаимодействие более чем двух солитонов. На рис. 8.2 приведена диаграмма, соответствующая решению трехсолитонному решению уравнения sine-Gordon. На рис. 8.3 показан пример профиля импульса.

Эти же диаграммы можно использовать также при построении решений модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза, поскольку теорема перестановочности (8.2.8) применима и к этому

уравнению. Нам нужно только начать с решения и построить односолитонные решения, имеющие тот же вид, что и решение (5.1.22). Диаграмма взаимодействия двух бризерных решений показана на рис. 8.4. Заметим, что постоянные в верхней половине рисунка выбраны так, что они комплексно сопряжены постоянным, помещенным в зеркально симметричных точках нижней половины рисунка. Этот метод был использован при получении двух бризерных решений, показанных на рис. 5.2. Пользуясь этим методом, мы продвигаемся шагами и избегаем вычисления больших определителей.