Глава 3. ОДНОМЕРНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ
В гл. 2 мы рассмотрели примеры так называемой прямой задачи рассеяния,
нахождения рассеянных волн при заданной форме рассеивающего потенциала или заданном профиле показателя преломления. Использование теории рассеяния при изучении солитонов требует рассмотрения обратной задачи, а именно, задачи определения потенциала при заданной информации о рассеянной полис (и связанных состояниях, если
есть). В последующих главах метод обратной задачи рассеяния будет использован для анализа начальных задач, снизанных с различными нелинейными эволюционными уравнениями. В настоящей главе излагаются те аспекты обратной задачи рассеяния, которые необходимы для рассмотрения этих эволюционных уравнений.
3.1. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ПОТЕНЦИАЛОМ И ФУНКЦИЯМИ
В разд. 2.10 мы видели, что уравнение Марченко (2.10.17) даст соотношение (интегральное уравнение) между
преобразованием Фурье коэффициента отражения
и функцией
, входящей в определение фундаментального решения
описываемого формулой (2.10.5). Теперь рассмотрим, каким образом знание функции
позволяет определить потенциал
Тогда у нас будет метод перехода от коэффициента отражения
к потенциалу
через функции
и
. Аналогичный результат получается для коэффициента отражения
и функции
Из обсуждения распространения импульсов
виде
-функцин (разд. 2.10) ясно, что функция
должна быть непосредственно связана с потенциалом, поскольку если в волновом уравнении
то сама
-функция
является точным решением волнового уравнения. Функция
в выражении (2.10.2), представляющая собой след за импульсом в виде
-функции или в общем случае дополнительную часть решения, которую можно приписать действию функции
в этом случае равна нулю. Чтобы найти связь между
и
при ненулевом потенциале, мы просто подставим ныражение
даваемое формулой (2.10.2), в волновое уравнение (2.10.1) и
получим
Коэффициент при ступенчатой функции, как и ожидалось, показывает, что уравнение, которому удовлетворяет функция
, не проще уравнения для функции
Однако нас интересует лишь коэффициент при
-функции. Интегрируя (3.1.1) по времени от
до
получим
Это дает искомое соотношение, а именно
Это рецепт для получения потенциала из функции
. Аналогичные вычисления с использованием функции
определяемой формулой (2.10.6), дают
Если задается коэффициент отражения и решается одно из уравнений Марченко, т. е. (2.10.17) для
или (2.10.18) для функции
то уравнение (3.1.3) или (3.1.4) дает потенциал, создающий заданный коэффициент отражения.
Довольно длинные рассуждения приводят к критерию
справедливости этой процедуры (Фаддеев [37]). Таким образом, метод неприменим, если интеграл в (3.1.5) расходится. Это происходит тогда, когда либо потенциал слишком сингулярен, как в случае, когда он является производной от
-функции
либо когда он слишком медленно убывает для больших значений х.
К сожалению, в большинстве случаев решать уравнение Марченко непросто. Это интегральное уравнение, и хотя оно и линейное. аналитически его можно решить только в некоторых простых случаях.
Приведенный в гл. 2 вывод уравнения Марченко ограничивался случаями, когда у потенциала не было связанных состояний.
В следующем разделе это ограничение будет ослаблено. Сначала, рассматривая простой пример, в котором нет связанных состояний, укажем метод построения потенциала по коэффициенту отражения и рассмотрим коэффициент отражения, который приведет к отталкивающему потенциалу в виде
-функции.
Пример — отталкивающий потенциал в виде «дельта»-функции
В упр. 19 гл. 2 был получен коэффициент отражения для потенциала
в случае волн, падающих слева. Результат имеет вид
Это выражение мы сейчас используем в качестве отправной точки для восстановления потенциала в виде
-функции. Согласно (2.8.32), преобразование Фурье выражения (3.1.6) дает
Тогда уравнение Марченко (2.10.18) примет вид
Для
как ступенчатая функция, так и интеграл равны нулю, так что
для
Для
можно удовлетворить интегральному уравнению, полагая функцию
равной постоянной. Приводящая к этому результату общая процедура описывается в упр. 1. Полагая
прямой подстановкой в интегральное уравнение находим, что
Тогда решениеимеет вид
и формула для потенциала (3.1.4) дает ожидаемый результат
Изложим теперь другой подход к этой задаче.
(см. скан)