Глава 3. ОДНОМЕРНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ

В гл. 2 мы рассмотрели примеры так называемой прямой задачи рассеяния, нахождения рассеянных волн при заданной форме рассеивающего потенциала или заданном профиле показателя преломления. Использование теории рассеяния при изучении солитонов требует рассмотрения обратной задачи, а именно, задачи определения потенциала при заданной информации о рассеянной полис (и связанных состояниях, если есть). В последующих главах метод обратной задачи рассеяния будет использован для анализа начальных задач, снизанных с различными нелинейными эволюционными уравнениями. В настоящей главе излагаются те аспекты обратной задачи рассеяния, которые необходимы для рассмотрения этих эволюционных уравнений.

3.1. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ПОТЕНЦИАЛОМ И ФУНКЦИЯМИ

В разд. 2.10 мы видели, что уравнение Марченко (2.10.17) даст соотношение (интегральное уравнение) между преобразованием Фурье коэффициента отражения и функцией , входящей в определение фундаментального решения описываемого формулой (2.10.5). Теперь рассмотрим, каким образом знание функции позволяет определить потенциал

Тогда у нас будет метод перехода от коэффициента отражения к потенциалу через функции и . Аналогичный результат получается для коэффициента отражения и функции

Из обсуждения распространения импульсов виде -функцин (разд. 2.10) ясно, что функция должна быть непосредственно связана с потенциалом, поскольку если в волновом уравнении то сама -функция является точным решением волнового уравнения. Функция в выражении (2.10.2), представляющая собой след за импульсом в виде -функции или в общем случае дополнительную часть решения, которую можно приписать действию функции в этом случае равна нулю. Чтобы найти связь между и при ненулевом потенциале, мы просто подставим ныражение даваемое формулой (2.10.2), в волновое уравнение (2.10.1) и

получим

Коэффициент при ступенчатой функции, как и ожидалось, показывает, что уравнение, которому удовлетворяет функция , не проще уравнения для функции Однако нас интересует лишь коэффициент при -функции. Интегрируя (3.1.1) по времени от до получим

Это дает искомое соотношение, а именно

Это рецепт для получения потенциала из функции . Аналогичные вычисления с использованием функции определяемой формулой (2.10.6), дают

Если задается коэффициент отражения и решается одно из уравнений Марченко, т. е. (2.10.17) для или (2.10.18) для функции то уравнение (3.1.3) или (3.1.4) дает потенциал, создающий заданный коэффициент отражения.

Довольно длинные рассуждения приводят к критерию

справедливости этой процедуры (Фаддеев [37]). Таким образом, метод неприменим, если интеграл в (3.1.5) расходится. Это происходит тогда, когда либо потенциал слишком сингулярен, как в случае, когда он является производной от -функции либо когда он слишком медленно убывает для больших значений х.

К сожалению, в большинстве случаев решать уравнение Марченко непросто. Это интегральное уравнение, и хотя оно и линейное. аналитически его можно решить только в некоторых простых случаях.

Приведенный в гл. 2 вывод уравнения Марченко ограничивался случаями, когда у потенциала не было связанных состояний.

В следующем разделе это ограничение будет ослаблено. Сначала, рассматривая простой пример, в котором нет связанных состояний, укажем метод построения потенциала по коэффициенту отражения и рассмотрим коэффициент отражения, который приведет к отталкивающему потенциалу в виде -функции.

Пример — отталкивающий потенциал в виде «дельта»-функции

В упр. 19 гл. 2 был получен коэффициент отражения для потенциала в случае волн, падающих слева. Результат имеет вид

Это выражение мы сейчас используем в качестве отправной точки для восстановления потенциала в виде -функции. Согласно (2.8.32), преобразование Фурье выражения (3.1.6) дает

Тогда уравнение Марченко (2.10.18) примет вид

Для как ступенчатая функция, так и интеграл равны нулю, так что для Для можно удовлетворить интегральному уравнению, полагая функцию равной постоянной. Приводящая к этому результату общая процедура описывается в упр. 1. Полагая прямой подстановкой в интегральное уравнение находим, что Тогда решениеимеет вид

и формула для потенциала (3.1.4) дает ожидаемый результат

Изложим теперь другой подход к этой задаче.

(см. скан)

(см. скан)