5.4. ОБЩИЙ КЛАСС РАЗРЕШИМЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ

Прежде чем завершить эту главу, мы покажем, как можно существенно расширить класс разрешимых нелинейных эволюционных уравнений. Полное обсуждение этого вопроса можно найти в научной литературе ([2], [21]).

Как мы уже отметили, все линейные уравнения, связанные с модифицированным уравнением Кортевега — де Фриза (5.1.9), уравнением sine-Gordon (5.2.5) и кубическим уравнением Шрёдингера (5.3.5), имеют вид

Этот результат может быть использован в качестве отправной точки при определении достаточно широкого класса эволюционных уравнений, к которым может быть применен метод обратной задачи рассеяния. Сначала запишем уравнения для пространственных производных в более общем виде

Соотношения или дают ранее рассмотренные линейные уравнения. Сейчас мы не делаем таких ограничений и выводим в конце концов пару зацепленных нелинейных эволюционных уравнений, которым удовлетворяют две зависимые переменные Предыдущие результаты можно получить, связав вышеупомянутыми соотношениями.

Из требования и равенства смешанных вторых производных, т. е. находим, что поскольку линейно независимы, то должны удовлетворяться следующие уравнения:

В рассмотренных до сих пор эволюционных уравнениях коэффициенты имели вид разложений в ряды по положительным (или отрицательным) степеням . Мы больше не будем налагать таких ограничений на вид этих коэффициентов.

При исследовании всех ранее рассмотренных эволюционных уравнений можно проследить, что их разрешимость связана с простой экспоненциальной зависимостью коэффициента отражения от времени в соответствующей задаче рассеяния. Показатель экспоненты фактически оказывается дисперсионным соотношением для линейного уравнения, получающегося, если опустить

нелинейный член в каждом из эволюционных уравнений. Конкретнее, линеаризованные варианты модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза, кубического уравнения Шрёдингера и уравнения sine-Gordon имеют соответственно вид Предположение, что дает дисперсионные соотношения и соответственно. Эти результаты нужно сравнивать с коэффицентами отражения для каждого из этих уравнений. Класс эволюционных уравнений, для которых коэффициент отражения имеет простую экспоненциальную зависимость от времени, фактически много шире, чем встречавшиеся до сих пор. Сейчас мы рассмотрим метод определения такого более широкого класса эволюционных уравнений [2].

В гл. 2 было показано, что уравнения, выражающие линейную зависимость различных фундаментальных решений, можно интерпретировать как решения различных задач рассеяния. Тогда коэффициенты отражения для этих задач рассеяния легко идентифицируются. Сейчас мы снова рассмотрим этот результат в несколько более широком контексте и увидим, какое нужно ввести ограничение, чтобы коэффициент отражения имел простую экспоненциальную зависимость от времени.

Рассмотрим решения системы (5.4.2), пропорциональные фундаментальным решениям которые вводятся соотношениями типа (2.11.15), т. е.

Соотношение между типа (3.9.7) больше не получается, поскольку не задана связь между Нам понадобятся также решения подобные тем, которые были даны в (2.11.17). Они имеют предельные формы

Запишем соотношения между этими решениями:

Эти соотношения можно сравнить с соотношениями (2.11.19) и (2.11.20), а также с соотношениями (3.9.8) и (3.9.9). Мы можем также записать

С помощью вронскиана, определенного как в (2.11.18), найдем, что

Найдем также, что и затем из (5.4.8) получим, что

Первое из соотношений (5.4.9) является решением, которое стремится к при х, стремящемся к и стремится к при стремящемся к Оно таким образом, представляет собой рассеяние решения а приходящего из Тогда коэффициент отражения единичной амплитуды падающей волны равен Именно временною зависимость этого коэффициента отражения мы хотим рассмотреть. В частности, мы рассмотрим, как можно сделать, чтобы он имел простую экспоненциальную зависимость от времени. Как и следовало ожидать при анализе задачи рассеяния, мы должны детально исследовать решения а также функции в двух пределах

Исследование (5.4.1) в пределе показывает, что в этом пределе В к С должны обращаться в нуль, если пропорционально фундаментальным решениям или Из первого: из уравнений (5.4.3) находим, что в этом пределе А не зависит от х. Предположим также, что при не зависит от . В этой связи следует заметить, что встречающиеся в трех предыдущих примерах функции А не зависят от в этом пределе. Поэтому первое из уравнений (5.4.3) можно записать как где

Тогда, выражая через фундаментальное решение получаем Аналогично, записывая

и принимая во внимание асимптотическую форму (5.4.5), мы находим, что Линейные уравнения (5.4.1) и (5.4.12) можно записать в матричном виде, выразив их через

При х, стремящемся к соотношения (5.4.8) показывают, что

Рассматривая (5.4.13) в пределе при находим, что

где Обозначая коэффициент отражения находим, что из первого и четвертого соотношений (5.4.14) можно получить

Таким образом, если либо либо в более общем виде можно получить дифференциальное уравнение для которое приводит к чисто экспоненциальной зависимости от времени. Поэтому нужно проанализировать вид

Выражение для можно получить непосредственно, решая (5.4.3) и затем переходя к пределу в этом решении при Однако рассмотрение этого решения показывает [2], что можно очень просто построить окончательное выражение для Сначала мы приходим к заключению, что нам нужны только уравнения, характеризующие изменение во времени Эти уравнения получаются методом, аналогичным тому, который был использован при получении уравнений (5.4.13а), и имеют вид

Дифференцируем первое из уравнений (5.4.2) по времени, используем первое из уравнений (5.4.17) и затем умножаем полученное уравнение на Затем умножаем второе из уравнений (5.4.2) на и складываем с только что полученным уравнением. После исключения А с помощью первого из уравнений (5.4.3) имеем

Если применить аналогичную процедуру к производной по времени от второго из уравнений (5.4.2) и результат сложить с (5.4.18), получим

Проинтегрируем сейчас это выражение от до Используя (5.4.4), (5.4.7) и (5.4.9), легко получим

Из (5.4.20) видно, что первое из упомянутых условий получения экспоненциальной зависимости от времени, а именно означает, что

Использованное здесь интегральное представление для возникает при получении (5.4.20). Теперь мы запишем (5.4.21) в виде

Конечная цель этих рассуждений — определение нелинейных эволюционных уравнений, связанных с коэффициентами отражения, экспоненциально зависящими от времени. Уравнение (5.4.22) содержит одну из возможностей, приводящую к таким уравнениям, а именно Сейчас мы рассмотрим, как из (5.4.22) можно получить эволюционные уравнения.

Мы должны, конечно, извлечь из (5.4.22) выражение, не зависящее от так как сами эволюционные уравнения не зависят от этого параметра. Это можно сделать, рассмотрев задачу на собственные значения для квадратов собственных функций входящих в (5.4.22). Введем собственный вектор и построим такой оператор что Чтобы использовать этот оператор, запишем сначала (5.4.22) в виде скалярного произведения

Вводя вектор матрицу которая является спиновой матрицей Паули ([96], разд. 33), можно записать (5.4.23) в виде

где означает транспонирование. Если бы была равна просто мы бы могли сразу же заменить на Далее, поскольку в общем случае можно заменить на если разложима в ряд по степеням

Прежде чем перейти к этому, определим оператор Сначала используем (5.4.2), чтобы записать

Снова используя соотношение можно записать

Из (5.4.25) видно, что оператор имеет вид

Сейчас мы вернемся к использованию этого оператора при определении эволюционных уравнений. Рассмотрим для простоты случай Тогда в (5.4.24) можно записать

где элементы оператора в (5.4.27); они означают интегралы от как указано в (5.4.26). Чтобы все подынтегральное выражение в (5.4.24) было пропорционально мы используем теперь интегрирование по частям, чтобы перенести операторы в от (Фактически мы просто меняем порядок интегрирования.) В качестве примера рассмотрим

Операторы больше на не действуют, и подынтегральное выражение пропорционально самому Окончательный вид (5.4.24) с может быть теперь записан следующим образом:

Это уравнение будет удовлетворено, если положить Для более общего выражения которое может быть разложено в степенной ряд по получим окончательный результат

Аналогичным образом могут быть рассмотрены другие компоненты и мы находим, что оператор имеет вид

В качестве простого примера рассмотрим линейную форму Тогда уравнение (5.4.31) дает

Из определения находим, что Следовательно, система (5.4.33) упрощается и получаются линейные уравнения

Для квадратичного случая снова могут быть сделаны упрощения, как в предыдущем примере, и мы находим, что

Полагая получим кубическое уравнение Шрёдингера в виде (5.3.1).

Другой выбор для получения экспоненциальной зависимости от времени, а именно приводит к результатам, аналогичным тем, которые былн получены выше, за исключением того, что заменяется на Если записать то эволюционные уравнения примут вид

В качестве примера рассмотрим тогда (5.4.35) принимает вид Для оба уравнения записываются в виде

Это уравнение можно преобразовать в уравнение sine-Gordon. Чтобы убедиться в этом, сначала разделим на и продифференцируем, чтобы получить

Если положить это уравнение можно записать в виде

решение которого [65] есть где Так как при это решение должно обращаться в нуль, мы

требуем, чтобы Кроме того, подстановка в (5.4.36) показывает, что Так как мы окончательно получаем уравнение sine-Gordon .

(см. скан)