Ãëàâíàÿ > Ââåäåíèå â òåîðèþ ñîëèòîíîâ
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Ìàêåòû ñòðàíèö

ÊÓÁÈ×ÅÑÊÎÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ ØÐ¨ÄÈÍÃÅÐÀ

9.3. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß

Ìîæíî ðàçðàáîòàòü è ìåòîä âîçìóùåíèé äëÿ ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé, ñâÿçàííûõ ñ ðàññìîòðåííîé â ãë. 5 çàäà÷åé íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿ ñèñòåìû äâóõ óðàâíåíèé. Ýòîò ìåòîä ÿâëÿåòñÿ ëèøü íåáîëüøèì îáîáùåíèåì ìåòîäà, èñïîëüçîâàííîãî â ïðåäûäóùèõ ðàçäåëàõ äëÿ óðàâíåíèÿ Êîðòåâåãà — äå Ôðèçà.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì âîçìóùåííîå êóáè÷åñêîå óðàâíåíèå Øð¸äèíãåðà

Íà÷íåì ñ ïîñòðîåíèÿ îïåðàòîðíîé ôîðìû ýòîãî óðàâíåíèÿ (è åãî êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííîãî), ñîîòâåòñòâóþùåé (9.1.2) äëÿ óðàâíåíèÿ Êîðòåâåãà — äå Ôðèçà. Ìû èñïîëüçóåì îïåðàòîð, ïîëó÷åííûé â óïð. 3 ãë. 5, à èìåííî

ãäå Èñïîëüçóåì òàêæå îïåðàòîð

êîòîðûé ìîæíî èàéòè, ïåðåïèñàâ (5.3.2) â âèäå

ãäå Òîãäà ïîëó÷èì

Òàê êàê

ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü óðàâíåíèå (9.3.1) è êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííîå åìó â âèäå

ãäå

Âïîëíå àíàëîãè÷íî âûâîäó (9.1.4) íàõîäèì, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè îò (9.3.4) ïðèâîäèò ê âûðàæåíèþ

ãäå

è åäèíè÷íàÿ -ìàòðèöà. Ðàññìîòðèì ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (9.3.9), ïðîïîðöèîíàëüíîå ïðè Òàêèì îáðàçîì, ïîëàãàåì ãäå ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå òîãî òèïà, êîòîðûé áûë îïðåäåëåí â (2.11.15). Èñïîëüçóÿ ïðåäåëüíóþ ôîðìó À ïðè , ãäå íàõîäèì, ÷òî

í, òàêèì îáðàçîì, Ïðè õ, ñòðåìÿùåìñÿ ê ïîëó÷èì

ãäå ìû èñïîëüçîâàëè ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó äàííîå ôîðìóëîé (3.9.8à), è ïðåäåëüíûå ôîðìû

Òåïåðü çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè, à òàêæå âûçâàííàÿ âîçìóùåíèåì äîïîëíèòåëüíàÿ çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè îïðåäåëÿþòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (9.3.9) äëÿ ïðîìåæóòî÷íûõ çíà÷åíèé õ, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî äëÿ óðàâíåíèÿ Êîðòåâåãà — äå Ôðèçà â ðàçä. 9.1. Èñïîëüçóåì ñíîâà ìåòîä âàðèàöèè ïàðàìåòðîâ è çàïèøåì

ãäå ôóíäàìåíòàëüíûå ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (9.3.9), à ôóíêöèè, ïîäëåæàùèå îïðåäåëåíèþ. Ïîäñòàíîâêà (9.3.14) â óðàâíåíèå (9.3.9) äàåò

ãäå ìû ïîëîæèëè

Äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (9.3.15) óäîáíî ââåñòè

Ñîãëàñíî (9.3.16) è îïðåäåëåíèþ âðîíñêèàíà (2.11.18), èìååì

Ìû íàøëè òàêæå, ÷òî Àíàëîãè÷íî ìû íàøëè, ÷òî Ýòè ñîîòíîøåíèÿ îêàçûâàþòñÿ óäîáíûìè äëÿ îïðåäåëåíèÿ Óìíîæàÿ óðàâíåíèå (9.3.15) ïî î÷åðåäè íà ìû òîò÷àñ æå ïîëó÷àåì

Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå äëÿ îáðàùàþùååñÿ â íóëü ïðè , èìååò âèä

Åñëè âû÷èñëèòü ýòîò ðåçóëüòàò ïðè è ïðèðàâíÿòü êîýôôèöèåíòû ïðè òåì êîòîðûå áûëè ïîëó÷åíû â (9.3.12), òî íàéäåì, ÷òî

×òîáû çàïèñàòü ïðè ïîëó÷åíèè (9.3.21à) âûðàæåíèå

ìû èñïîëüçîâàëè (3.9.8à) è îïðåäåëèëè

Ïîëàãàÿ â (9.3.216) è èñïîëüçóÿ ìû ïîëó÷èì çàâèñèìîñòü ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ îò âðåìåíè. Âñïîìèíàÿ äàííîå â îïðåäåëåíèå è çàìå÷àÿ, ÷òî

ìû ìîæåì ïåðåìíîæèòü ìàòðèöû â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè è ñâåñòè ê âèäó

Ôóíêöèè ïîäñ÷èòûâàþòñÿ ïðè ãäå ïðîïîðöèîíàëüíû.

Ïðè âû÷èñëåíèè ïåðâîãî èç óðàâíåíèé (9.3.21) âèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ ñèíãóëÿðíà â ïîëþñàõ â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè, ñîîòâåòñòâóþùèõ ñâÿçàííûì ñîñòîÿíèÿì. Ýòî î÷åâèäíî äëÿ ðåøåíèé ñ îäíèì ïîëþñîì, êîòîðûå áóäóò ïðèâåäåíû âïîñëåäñòâèè (ôîðìóëà (9.4.5)). Îäíàêî, èñïîëüçóÿ (9.3.8à) è âû÷èñëÿÿ ïîëó÷åííóþ íåîïðåäåëåííóþ ôîðìó ïðè ïîëó÷èì

ãäå òî÷êà îçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïî Ýòà ïðîöåäóðà àíàëîãè÷íà òîé, êîòîðàÿ áûëà èñïîëüçîâàíà ïðè ïîëó÷åíèè (9.1.14). Ðåçóëüòàò âûðàæåííûé â (9.3.24) è (9.3.25), ñîçäàåò îñíîâó òåîðèè âîçìóùåíèé äëÿ ïàðàìåòðîâ ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé. Ñåé÷àñ ìû ðàññìîòðèì èñïîëüçîâàíèå ýòèõ ôîðìóë ïðè àíàëèçå èçìåíåíèÿ îäíîñîëèòîííîãî ðåøåíèÿ çà ñ÷åò äèññèïàöèè.

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