КУБИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА

9.3. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Можно разработать и метод возмущений для эволюционных уравнений, связанных с рассмотренной в гл. 5 задачей на собственные значения для системы двух уравнений. Этот метод является лишь небольшим обобщением метода, использованного в предыдущих разделах для уравнения Кортевега — де Фриза. В качестве примера рассмотрим возмущенное кубическое уравнение Шрёдингера

Начнем с построения операторной формы этого уравнения (и его комплексно-сопряженного), соответствующей (9.1.2) для уравнения Кортевега — де Фриза. Мы используем оператор, полученный в упр. 3 гл. 5, а именно

где Используем также оператор

который можно иайти, переписав (5.3.2) в виде

где Тогда получим

Так как

мы можем переписать уравнение (9.3.1) и комплексно-сопряженное ему в виде

где

Вполне аналогично выводу (9.1.4) находим, что производная по времени от (9.3.4) приводит к выражению

где

и единичная -матрица. Рассмотрим фундаментальное решение уравнения (9.3.9), пропорциональное при Таким образом, полагаем где фундаментальное решение того типа, который был определен в (2.11.15). Используя предельную форму А при , где находим, что

н, таким образом, При х, стремящемся к получим

где мы использовали соотношения между данное формулой (3.9.8а), и предельные формы

Теперь зависимость от времени, а также вызванная возмущением дополнительная зависимость от времени определяются решением уравнения (9.3.9) для промежуточных значений х, как это было сделано для уравнения Кортевега — де Фриза в разд. 9.1. Используем снова метод вариации параметров и запишем

где фундаментальные решения однородной части уравнения (9.3.9), а функции, подлежащие определению. Подстановка (9.3.14) в уравнение (9.3.9) дает

где мы положили

Для решения уравнения (9.3.15) удобно ввести

Согласно (9.3.16) и определению вронскиана (2.11.18), имеем

Мы нашли также, что Аналогично мы нашли, что Эти соотношения оказываются удобными для определения Умножая уравнение (9.3.15) по очереди на мы тотчас же получаем

Таким образом, решение для обращающееся в нуль при , имеет вид

Если вычислить этот результат при и приравнять коэффициенты при тем которые были получены в (9.3.12), то найдем, что

Чтобы записать при получении (9.3.21а) выражение

мы использовали (3.9.8а) и определили

Полагая в (9.3.216) и используя мы получим зависимость собственного значения от времени. Вспоминая данное в определение и замечая, что

мы можем перемножить матрицы в подынтегральном выражении и свести к виду

Функции подсчитываются при где пропорциональны.

При вычислении первого из уравнений (9.3.21) видно, что функция сингулярна в полюсах в верхней полуплоскости, соответствующих связанным состояниям. Это очевидно для решений с одним полюсом, которые будут приведены впоследствии (формула (9.4.5)). Однако, используя (9.3.8а) и вычисляя полученную неопределенную форму при получим

где точка означает производную по Эта процедура аналогична той, которая была использована при получении (9.1.14). Результат выраженный в (9.3.24) и (9.3.25), создает основу теории возмущений для параметров связанных состояний. Сейчас мы рассмотрим использование этих формул при анализе изменения односолитонного решения за счет диссипации.