9.4. ЗАТУХАНИЕ ЕДИНИЧНОГО СОЛИТОНА

Общий вид односолитонного решения, соответствующего нулю функции при где приведен в упр. 4 гл. 5, а именно

где теперь

Как и в упр. 4 гл. 5, при отсутствии возмущения Кроме того,

приведенные там фундаментальные решения могут быть записаны в виде

где в определяется формулой (9.4.3) и

Зависимость от времени для величин , так же как для определяется возмущением. Если нуль расположен при то фундаментальные решения сводятся к следующим:

Затем мы находим, что

Мы имеем также

и поэтому Теперь зависимость собственного значения от времени дается уравнением (9.3.24), которое сводится к

Разделяя действительную и мнимую часть, получим

В качестве простого примера использования этих результатов рассмотрим влияние затухания на единичный солитон. Затухание

можно ввести, рассматривая уравнение

Таким образом, или Тогда мы находим, что так что

Таким образом, как и в случае уравнения Кортевега — де Фриза, солитон расплывается и затухает.

Изменение фазы солитона получим из (9.3.25) предварительно использовав (9.4.9), чтобы записать

Вычисляя (9.3.25), требуем, чтобы

Разделяя в (9.3.25) действительную и мнимую части, получим

Для введенного выше возмущения оба интеграла в (9.4.17) обращаются в нуль. Тогда где дается выражением (9.4.14.). В результате интегрирования получим

При это сводится к результату для невозмущенного случая, приведенному в упр. 4 гл. 5.

Зависимость параметров от времени, определяющая форму односолитонного решения кубического уравнения Шрёдингера с затуханием, может быть также определена с помощью сохраняющихся величин, связанных с невозмущенным уравнением. При этом используется та же процедура, что и для уравнения Кортевега — де Фриза в предыдущем разделе.

Из (3.9.28) получим

Как можно видеть, используя плотность лагранжиана последнее из этих выражений соответствует энергии решения. Интеграл по всему пространству от соответствующеи плотности гамильтониана оказывается пропорциональным

Для односолитонного решения приведенного в (9.4.1),

Если предположить, что и удовлетворяет кубическому уравнению Шрёдингера с затуханием (9.4.13), то производная по времени от дает

Если приравнять производную по времени от заданную формулой (9.4.20), ее выражению, полученному из (9.4.21), мы снова получим соотношение Аналогичное рассмотрение приводит к так что вновь получаются оба результата (9.4.14).

Теперь аналогия с теорией возмущений для уравнения Кортевега — де Фриза очевидна. Рассмотрение непрерывного спектра также аналогично рассмотрению для уравнения Кортевега — де Фриза и здесь излагаться не будет. Этот вопрос, равно как и дополнительные примеры вычисления возмущений, можно найти в научной литературе, цитированной в начале этой главы.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)