Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
6.2. ВОЛНЫ НА МЕЛКОЙ ВОДЕ И КУБИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРАМежду кубическим уравнением Шрёдингера и уравнением Кортевега — де Фриза есть связь, которая выявляется, когда мы ищем решение последнего уравнения в форме медленно модулированного цуга волн. Кубическое уравнение Шрёдингера может быть также получено непосредственно из фундаментальных уравнений для волн на воде [50], [30]) без ограничения теории мелкой воды, которое заключено в уравнении Кортевега — де Фриза; были проведены обширные экспериментальные и численные исследования этого случая [75]. Однако это более общее приложение рассматриваться здесь не будет. Чтобы понять, как при описании поверхностных волн может появиться кубическое уравнение Шрёдингера, вспомним сначала, что, как было показано, простейшее линейное описание поверхностных волн дается волновым уравнением без дисперсии Чтобы подкрепить эти рассуждения количественными оценками, заметим, что кубическое уравнение Шрёдингера возникает тогда, когда мы ищем решение уравнения Кортевега — де Фриза в виде рядов Фурье
Предполагается, что параметр разложения Мы предполагаем, что
где
Теперь пространственные и временные производные в уравнении Кортевега — де Фриза должны быть заменены следующим образом:
здесь производные по Подстановка разложения (6.2.2) в уравнение Кортевега — де Фриза (6.1.19) и приравнивание членов при первых трех степенях
где Соберем члены с одинаковыми степенями
Случай
Для Для произвольного
Так как Для
Если Для
или
При
В третьем порядке мы имеем
Для
это можно проинтегрировать и получить
где
Для
которое принимает вид
Для Хотя речь шла главным образом о солйтонных решениях, заслуживает краткого рассмотрения и стационарная форма волны, так как она легко дает вышеупомянутое дисперсионное соотношение, зависящее от амплитуды. Рассмотрим решение (6.2.18) в виде
Возвращаясь к (6.2.1), видим, что с точностью до первого порядка по
где
Видно, что теперь удобно положить
которое содержит амплитудную поправку первого порядка к дисперсионному соотношению для волн на воде [117].
|
1 |
Оглавление
|