6.2. ВОЛНЫ НА МЕЛКОЙ ВОДЕ И КУБИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

Между кубическим уравнением Шрёдингера и уравнением Кортевега — де Фриза есть связь, которая выявляется, когда мы ищем решение последнего уравнения в форме медленно модулированного цуга волн. Кубическое уравнение Шрёдингера может быть также получено непосредственно из фундаментальных уравнений для волн на воде [50], [30]) без ограничения теории мелкой воды, которое заключено в уравнении Кортевега — де Фриза; были проведены обширные экспериментальные и численные исследования этого случая [75]. Однако это более общее приложение рассматриваться здесь не будет.

Чтобы понять, как при описании поверхностных волн может появиться кубическое уравнение Шрёдингера, вспомним сначала, что, как было показано, простейшее линейное описание поверхностных волн дается волновым уравнением без дисперсии Было найдено, что более точное линейное уравнение (6.1.13) учитывает дисперсию. Для волн, распространяющихся в одном направлении, все эти линейные результаты получаются из уравнения Кортевега — де Фриза (6.1.21), если пренебречь нелинейным членом Простейшие нелинейные поправки получаются при рассмотрении решений полного уравнения Кортевега — де Фриза (6.1.21), обладающих малой амплитудой. Показано, что это приводит к дисперсионному соотношению, зависящему от амплитуды. Неудивительно, что здесь могло бы появиться кубическое уравнение Шрёдингера, поскольку это уравнение совершенно естественным образом вводит дисперсионное соотношение, зависящее от амплитуды. Например, уравнение обладает решениями вида при условии, что выполняется зависящее от амплитуды дисперсионное соотношение

Чтобы подкрепить эти рассуждения количественными оценками, заметим, что кубическое уравнение Шрёдингера возникает тогда, когда мы ищем решение уравнения Кортевега — де Фриза в виде рядов Фурье

Предполагается, что параметр разложения много меньше единицы, а коэффициенты медленно меняются на длине волны а также в течение одного цикла Мы будем следовать анализу работы [101] и покажем, что удовлетворяет кубическому уравнению Шрёдингера. Для того чтобы было действительным, должно выполняться соотношение Будет найдено, что для получения этого результата нам нужно сохранить только члены с и .

Мы предполагаем, что представляет собой возмущение, намного более протяженное, чем длина волны, и движущееся с некоторой скоростью Это можно сделать, полагая, что является функцией переменной Кроме того, допуская зависимость от времени более высокого порядка, можно ввести в этот профиль медленные временные изменения. Таким образом, мы имеем

где

Теперь пространственные и временные производные в уравнении Кортевега — де Фриза должны быть заменены следующим образом:

здесь производные по относятся к фазе, а производные по к амплитуде.

Подстановка разложения (6.2.2) в уравнение Кортевега — де Фриза (6.1.19) и приравнивание членов при первых трех степенях дает

где

Соберем члены с одинаковыми степенями Для членов первого порядка по находим, что

Случай не дает никакой информации. Для получаем дисперсионное соотношение линейной теории, а именно

Для находим из (6.2.6), что при определенном соотношением (6.2.7),

Для произвольного уравнение второго порядка дает

Так как для при суммировании останется только несколько членов.

Для находим, что

Если то не зависит от Так как в задачах распространения член не представляет интереса, мы полагаем

Для находим, что

или

При получаем

В третьем порядке мы имеем

Для получаем

это можно проинтегрировать и получить

где Предполагая, что и используя (6.2.11), находим, что

Для получим уравнение

которое принимает вид

Для что соответствует случаю локализованных решений, это кубическое уравнение Шрёдингера. Многочисленные экспериментальные подтверждения многосолитонного взаимодействия поверхностных волн (на глубокой воде) в согласии с кубическим уравнением Шрёдингера были получены в работе [75].

Хотя речь шла главным образом о солйтонных решениях, заслуживает краткого рассмотрения и стационарная форма волны, так как она легко дает вышеупомянутое дисперсионное соотношение, зависящее от амплитуды. Рассмотрим решение (6.2.18) в виде такое что Предполагаемая форма является решением уравнения (6.2.18) при условии, что удовлетворяется дисперсионное соотношение

Возвращаясь к (6.2.1), видим, что с точностью до первого порядка по смещение можно записать в виде

где

Видно, что теперь удобно положить Используя (6.2.7) и (6.2.11), находим, что имеет место соотношение

которое содержит амплитудную поправку первого порядка к дисперсионному соотношению для волн на воде [117].