4.7. ДРУГОЙ ПОДХОД К ЛИНЕЙНЫМ УРАВНЕНИЯМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА-ДЕ ФРИЗА

Решение уравнения Кортевега — де Фриза можно перефразировать и в терминах системы двух линейных уравнений, подобных тем, которые рассматривались в разд. 2.11. Прежде чем начать рассмотрение других эволюционных уравнений, которые естественнее анализировать в рамках метода Захарова — Шабата, мы кратко рассмотрим метод двух уравнений для уравнения Кортевега — де Фриза. Это делается путем преобразования линейных уравнений для уравнения Кортевега — де Фриза в эквивалентную систему Захарова — Шабата.

Чтобы ввести систему Захарова — Шабата, начнем с линейных уравнений, полученных в разд. 1.2. Согласно (1.2.2) и (1.2.10),

Сейчас мы будем следовать стандартной процедуре замены дифференциального уравнения второго порядка парой уравнений первого порядка. Полагая

находим, что уравнение Шрёдингера эквивалентно следующему.

Кроме того, если использовать производную уравнения (4.7.1а) для исключения из то можно записать выражение для в виде линейной комбинации Получим

Наконец, записывая и используя затем (4.7.3а), можно построить выражение для являющееся линейной комбинацией После использования (4.7.1а) результат имеет вид

Если обозначить пару линейных уравнений (4.7.2) можно привести к виду, несколько похожему

на линейные уравнения, рассмотренные в разд. 2.11. Тогда мы получим

Если применить то же преобразование к системе (4.7.3), получим уравнения вида

где

Теперь из этих линейных уравнений можно восстановить решение уравнения Кортевега — де Фриза. Детали этого подхода будут рассматриваться в гл. 5 в применении к другим эволюционным уравнениям.

В связи с анализом новых уравнений в гл. 5, важно отметить, что уравнения вида (4.7.5) являются исходным пунктом для введения временной зависимости для функций и