2.5. РАССЕЯНИЕ ПОТЕНЦИАЛОМ ВИДА sech

Получение решений уравнения Шрёдингера для потенциалов, отличных от -функции или от прямоугольной ямы, представляет собой довольно сложное упражнение по использованию специальных функций. Здесь будет рассмотрен случай потенциала в виде sech, так как этот потенциал будет играть важную роль в дальнейшем изложении. Кроме того, процесс рассеяния выражается с помощью линейных комбинаций решений способом, который затем будет обобщен.

Рассмотрим притягивающий потенциал

Полагая в уравнении Шрёдингера получим

где штрих означает дифференцирование по Это уравнение может быть преобразовано в гипергеометрическое [89]. Сначала, полагая

где А — произвольная амплитуда, находим, что если выбрать равным то функция удовлетворяет уравнению

Последующее преобразование дает

где

Уравнение (2.5.5) является стандартной формой гипергеометрического уравнения. Конечное при (т. е. при ) решение обычно записывается в виде [4]

При (т. е. при ) мы получаем, что 1. Таким образом, выражение (2.5.3) принимает вид

Чтобы это выражение представляло собой плоскую волну распространяющуюся на мы должны положить Тогда, согласно предыдущему определению мы имеем Разрешая уравнения (2.5.6) относительно и используя определение мы находим, что

Хотя решение справедливо при (т. е. при ), его легче понять в области (т. е. при ), записав как линейную комбинацию двух решений, выраженных через разложения в окрестности Соответствующая комбинация, являющаяся одним из стандартных тождеств, связывающих гипергеометрические функции, имеет вид ([4], формула 15.3.6 на с. 373 русского издания)

где означает гамма-функцию (см. с. 81 указанного издания). Мы покажем сейчас, что это соотношение действительно дает решение задачи рассеяния. Замечая, что и что, согласно (2.5.7), гипергеометрические функции с аргументом будут стремиться к единице при мы находим, Что (2.5.3) и (2.5.10) дают

Полагая как отмечалось выше и записывая (2.5.11) в виде

мы можем сразу же определить коэффициент отражения и амплитуду падающей волны. Возвращаясь к (2.5.8) и вынося за скобки как общий множитель ту же самую амплитуду падающей волны, определяем также коэффициент прохождения. Результаты записываются в виде

Используя определения данные в (2.8.6), и тождество находим, что пропорционально Таким образом, для где потенциал является безотражательным. Следует отметить, что этот результат справедлив для падающих частиц любой энергии (т. е. для классических волн любой частоты

Итак, как так и имеют полюсы в плоскости к, определяемые соотношениями где Полюсы в верхней полуплоскости комплексной плоскости являются положительными решениями уравнения

Это налагает ограничение сверху на значение Если, кроме того, мы ограничимся рассмотрением безотражательных потенциалов, то

В заключение отметим, что безотражательные потенциалы и их собственные значения связаны с уравнением Шрёдингера

Собственные аиачения можио получить как предельные случаи гипергеометрической функции. Пример рассматривается ниже, в упр. Однако в следующем разделе будет описан более простой метод порождения собственных функций.

(см. скан)

(см. скан)