1.4. РАССМОТРЕНИЕ ДРУГИХ СЛУЧАЕВ

1.4.1. Несколько представителей одного класса

До настоящего момента мы рассматривали лишь тот случай, когда каждому классу множества ставится в соответствие единственный представитель (другими словами, единственный элемент пространства

Однако интересно рассмотреть случай, когда подмножеству из соответствует несколько элементов из Мы рассмотрим несколько таких случаев, и, в частности, тот, при котором и представители различных классов (как подмножества имеют одну и ту же мощность (см. гл. 2).

1.4.2. Случай существования непустой общей части у представителей всех k классов

Речь идет о таком типе задач, в которых представителей для классов разбиения содержат общую часть С, которая не меняется, каков бы ни был показатель

В этом случае в общем виде задача может быть сформулирована следующим образом: если критерий задан формулой где то необходимо найти такую тройку где а которая минимизирует в . В гл. 12 и 15 мы продемонстрируем два примера применения этой формализации.

1.4.3. Возможности выбора функций назначения и представительства

Эти функции могут иметь различный вид и использоваться для решения проблем представительства, отличающихся от тех, которые были описаны в 1.3.1. Так, например, в некоторых случаях оказывается необходимым учитывать ограничение на уровень связности искомых классов, и тогда следует соответствующим образом видоизменить функцию назначения. Подобные проблемы рассматриваются, в частности, в задачах распознавания образов при разложении и запоминании контуров.

В некоторых случаях функция представительства не может поставить в соответствие одному (или нескольким) классу из одно (или несколько) наилучшее представительство (иными словами, не имеет минимума). С этой проблемой мы сталкиваемся, в частности, при решении задач расщепления смеси вероятностных законов распределения. Для того чтобы оптимизировать критерий, мы вынуждены обходить это затруднение, принимая в качестве функцию, которая просто улучшает, а не оптимизирует критерий.

В том случае, когда имеет несколько минимумов, применение предложения 2 невозможно, поскольку из равенства не следует Эта трудность может быть преодолена, если наложить дополнительное условие на преобразование а именно: объект не может перейти из одного класса в другой, если это ведет к ухудшению критерия; в результате становится отображением (см. гл. 7).