10.3.7. Связь с критерием Шоу

Критерий Шоу - это критерий однородности и устойчивости. По существу, речь идет о частном случае критерия общей линейной гипотезы. Принимается, следовательно, гипотеза о нормальности возмущений. Критерий оказывается очень интересным в случае локальных линейных моделей, так как он позволяет проверить, являются ли локальные представительства, которые мы получаем, существенно различными. Например, в экономических приложениях нужно проверить, исходя из наблюдений, хорошо ли приспособлен один и тот же экономический закон к описанию одного и того же явления в разные периоды времени.

10.3.7.1. Критерий Шоу

Пусть модель состоит из К регрессий, соответствующих разбиению множества наблюдений на К классов:

Предположим также, что ранг где число объясняющих переменных.

Допустим также, что возмущения имеют нормальное распределение.

Задача состоит в следующем:

проверить

против На попарно различны). Собирая К регрессий (1), запишем модель в виде

или в сжатой форме:

где

В соответствии с критерием Шоу при принятых выше предположениях и при справедливости гипотезы

имеет распределение Фишера Здесь

сумма квадратов остатков при оценивании в условиях гипотезы (значение получим, если проведем глобальную регрессию, т. е. с

СКО — сумма квадратов остатков при оценивании в условиях гипотезы На (значение СКО получим, если выберем локальную регрессию на К классов, для которой критерий минимален);

распределение Фишера с степенями свободы.

Замечание 1. Для вычисления СКО используют тот факт, что в модели, составленной из К регрессий, в случае, когда возмущения для разных регрессий некоррелированы, мы придем к одинаковому результату независимо от того, будем ли производить подгонку по методу наименьших квадратов для составной модели или для каждой из К регрессий отдельно. Отсюда

В случае справедливости гипотезы модель (1) можно записать в виде (взяв в качестве общее значение

или в сжатой форме:

откуда

где

Замечание 2. В случае когда мы имеем дело с временными рядами, может оказаться, что многие из К выборок будут иметь малый объем сравнению с числом объясняющих переменных (что оправдывает применение псевдообратных матриц). Тогда вычисление остается тем же, поскольку

При альтернативной гипотезе, имея по-прежнему равенства , мы не можем вычислить обычными методами, если ранг В этом случае, как легко понять, В самом деле, через линейно-независимых точек можно провести гиперплоскость размерности следовательно,

В случае когда такое, что ранг критерий Шоу записывается в виде

где имеет распределение Фишера Наконец, для того чтобы проверить гипотезу о том, являются ли К регрессий значимо различными с порогом достаточно проверить выполнение неравенства

и отвергнуть гипотезу при выполнении этого неравенства.

10.3.7.2. Связь между критерием Шоу и критерием W

Задача: найти где

эквивалентна задаче: найти где

В самом деле, можно переписать:

Поскольку постоянны и значение СКО постоянно, то

Тем не менее критерий это критерий, предполагающий нормальность, тогда как наш критерий чисто метрический.