5.3.4. Разложение псевдоинерции

Как и ранее, предполагаем, что данные так разбиты на классов что удовлетворяется достаточное условие вычислимости псевдоцентров тяжести (см. 5.3.2.3).

Пусть псевдоцентры тяжести классов. Тогда полная псевдоинерция запишется в виде

Величина разложена на три члена, которые мы последовательно рассмотрим.

1) Прежде всего, в выражении

мы узнаём псевдоинерцию класса относительно его псевдоцентра тяжести.

Следовательно, величина

играет ту же роль, что и внутриклассовая инерция в случае, когда векторы являются полными.

Мы назовем эту величину внутриклассовой псевдоинерцией и обозначим ее через Следовательно, по определению

2) С другой стороны, имеем

Однако выражение в квадратных скобках равно нулю по определению псевдоцентра тяжести класса (см. 5.3.2.3).

3) Наконец, последний член запишется так:

Но в случае полных данных межклассовая инерция выражалась в виде (см. 5.3.1)

поскольку Сравнив правые части последних двух выражений, мы видим, что величина играет ту же роль, что и межклассовая инерция. Назовем это выражение межклассовой псевдоинерцией и обозначим через в. Итак,

Теперь мы в состоянии записать полную псевдоинерцию в виде

Как и в случае полных данных, есть постоянная (т. е. не зависящая от способа разбиения) характеристика облака неполных объектов.

В то же время зависят от способа разбиения множества на классов. В частности, есть показатель концентрации объектов классов вокруг их псевдоцентров тяжести, показатель взаимной удаленности классов друг от друга.

Замечание. Величина показателя которую мы только что определили, должна интерпретироваться с осторожностью, так как она является только аппроксимацией истинного значения В частности, легко показать, что означает, что все данные сливаются с центром тяжести класса, к которому они принадлежат.