8.4. КОНСТРУКЦИЯ РЕШАЮЩЕГО ПРАВИЛА

8.4.1. Решающие правила, выводимые из дискриминантного типологического анализа

Процедура отнесения индивидуума к одному из классов, определенных с помощью дискриминантного типологического анализа, состоит в следующем.

С помощью калькулятора, связанного с анализатором спектра, определяют параметры, необходимые для принятия решения, к какому классу отнести машину.

Машина с номером описывается вектором

С другой стороны, в памяти калькулятора располагают центры тяжести классов, для класса и дискриминантные факторы, для дискриминантного фактора

Машину относят к классу если

Здесь число дискриминантных осей,

Если машина отнесена в класс или то снова начинают вычисления с центрами тяжести и факторами, соответствующими второму уровню дискриминации, который был введен, чтобы разделить классы и

8.4.2. Другие решающие правила

Решающие правила, получаемые при дискриминантном типологическом анализе, такие же, что и при линейном дискриминантном анализе при дискриминантном подпространстве размерности Введение других решающих правил означало бы, что с помощью дискриминантного типологического анализа можно описать и построить новое, более надежное разбиение, чем заданное априори.

Представляется интересным, например, сравнить решающие правила ДТА с более богатым семейством решающих правил при байесовском подходе (см. [81).

В нашей задаче важно построить решающие правила, допускающие диалог «человек-ЭВМ». В самом деле, такой диалог обеспечил бы возможность регулярно контролировать, насколько содержателен диагноз, позволил бы приобрести полезный опыт для улучшения решающих правил и, несомненно, привел бы к лучшему пониманию связи акустических последствий дефектов с метрологическими характеристиками машин. Поэтому мы старались построить исходя из классов, полученных в результате дискриминантного типологического анализа, простые и допускающие такой диалог решающие функции. Не вдаваясь в детали, отметим, что решающая процедура, на которой мы остановились, использует рекуррентный алгоритм классификации Дж. X. Фридмана [51. Этот алгоритм используется для того, чтобы разделить две совокупности точкой деления с, которая максимизирует функцию

т. е.

функции распределения двух совокупностей. Величина не что иное, как расстояние Колмогорова-Смирнова между двумя распределениями, она хорошо известна как мера различия 2 функций распределения.

На практике неизвестны и их оценивают по эмпирическим функциям распределения, определенным следующим образом:

где точка в упорядоченном но возрастанию семействе ) точек на числовой прямой. В качестве оценки берется Точнее, алгоритм строится следующим образом. Для всех переменных вычисляют величины

(соответственно функция распределения семейства (соответственно для переменной и производят разрез для переменной такой, что

Разрез делается в точке

Если одна из двух подвыборок удовлетворяла критерию остановки, она относилась к одному из двух классов (элементов которого в подвыборке больше), и, таким образом, получали окончательную ячейку. Если нет, то процедуру повторяли исходя из этой подвыборки. В частности, снова вычисляли (с даже для переменной выбранной на предыдущем шаге; в самом деле, в случае, когда и (или) многомодальны, может оказаться, что один разрез не дает хорошего разделения.

Отнесение новых индивидуумов к классам. Разбиение по описанной процедуре приводит к дереву бинарных решений. Подвыборка на каждом этапе представляется узлом дерева. Вершина дерева соответствует всей выборке. Две ветки от каждого нефинального узла соответствуют двум подмножествам, определяемым разбиением. Финальные узлы соответствуют финальным ячейкам. Правило классификации нового индивидуума простое. Индивидуума относят к классу, соответствующему ячейке, в которую он попал. Начиная с вершины,

индивидуум «спускается с дерева» до тех пор, пока он не оказывается в финальном узле. Если этот узел представляет один класс, индивидуум относится к этому классу. Если узел представляет собой смесь классов, индивидуум относится к тому классу, который представлен большим количеством элементов. «Спускаясь с дерева», двигаемся налево или направо в соответствии с правилом, если то идем по левой ветке, если нет, то по правой. Здесь и представляют собой переменную и точку разреза, соответствующие этому узлу.

Можно показать, что эта процедура асимптотически эффективна в байесовском смысле при условии (см. [2]). (соответственно априорная вероятность первой (соответственно второй) совокупности, (соответственно -стоимость неправильной классификации индивидуума первой (соответственно второй) совокупности. Процедура обобщается на случай многих классов путем рассмотрения задачи как последовательности задач для двух классов.

Эта процедура интересна главным образом скоростью выполнения и простотой интерпретации диагноза.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)