Глава 9. ТИПОЛОГИЧЕСКОЕ АГРЕГИРОВАНИЕ ДАННЫХ О ПРЕДПОЧТЕНИЯХ
9.1. ВВЕДЕНИЕ
9.1.1. Данные и отношения предпочтения
Часто приходится иметь дело с данными о предпочтениях:
в торговле — в процедурах проверки качества товаров;
в управлении — в мультикритериальных задачах;
в психологии — в анализе анкет;
в политике — в задачах, связанных с голосованием, и т. д. В общем случае можно представить эти данные в виде взвешенного семейства отношений предпочтения:
где 
конечное множество судей, критериев, индивидуумов, производящих опрос, избирателей, 
Элементы множества 
в дальнейшем будут называться судьями;
- положительный вес, связанный с судьей 
- конечное множество продуктов, которые нужно сравнить между собой, решений, которые требуется принять, событий, среди которых нужно выбрать одно, кандидатов на выборах; элементы множества X будем называть объектами;
- антисимметричное отображение 
в 
Оно выражает предпочтения судьи 
относительно объектов из 
Таким образом, 
обозначает степень предпочтения объекта х объекту 
эта степень тем больше, чем 
ближе к 
Отображение будем называть отношением предпочтения.
Эта модель предусматривает сравнение каждым судьей объектов по парам в протоколе сравнения пар. Например, можно положить:
если объект х намного предпочтительнее объекта 
если объект х немного предпочтительнее объекта 
если нельзя отдать предпочтения ни 
ни у. 
, если объект у немного предпочтительнее объекта 
если объект у намного предпочтительнее объекта х. Часто предпочтения являются строгими без нюансов, и индивидуальные предпочтения судей выражаются двумя непересекающимися отношениями на X:
отношением 
асимметричным, обозначающим строгие предпочтения;
отношением 
симметричным, указывающим на неразличимость, так что для каждой пары объектов 
имеем:
или
или
Иначе, отношения 
могут быть выражены отношением предпочтения 
называемым сигнатурой отношения и определяемым так:
Изучение всех пар объектов становится утомительной задачей, когда число сравниваемых объектов возрастает. Но часто оказывается возможным выразить индивидуальные предпочтения в терминах классификации, допускающей неразличимость объектов. Классификация определяется заданием упорядоченного разбиения 
которое для наглядности записывается в виде
Оно выражает следующие отношения строгого предпочтения 
и неразличимости 
х строго предпочтительнее у, если 
неразличимы, если существует 
такое, что 
и характеризует такое отношение 
которое является отношением предпорядка на X (см. [2]).
В тех случаях, когда нет неразличимых объектов, т. е. когда каждый класс сводится к одному элементу, что наглядно выражается в виде 
это отношение является отношением порядка на X (см. [2]). На практике классификацию часто определяют, приписывая значимость 
каждому х и полагая
где 
различные значения значимости. Классификацию объектов можно, впрочем, получить каноническим способом, исходя из любого отношения предпочтения 
и вычисляя функцию значимости для 
по формуле
В случае когда 
является сигнатурой предпорядка 
верно и обратное утверждение, что классификация, связанная с 
позволяет восстановить отношение 
Более богатый запас моделей, чем предпорядки, можно также получить, исходя из 
и вводя порог 
Положим:
х строго предпочтительнее у, если 
;
х и у неразличимы, если 
тогда получим отношение 
которое является квазипорядком на 
Другие типы условия также могут быть введены в терминах отношений предпочтения. Например, свойство транзитивности выражает согласованность в предпочтениях.
Стохастическая транзитивность:
Соответствует определению семейства вложенных квазипорядков [15], [26].
Размытая транзитивность:
Слабая транзитивность: 
Соответствует понятию совместимости с отношением порядка на 
[18], [8].
