Глава 10. ЛОКАЛЬНО-ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ

10.1. ВВЕДЕНИЕ

10.1.1. Постановка задачи

При использовании временнйх рядов часто задают вопрос об устойчивости по времени (стационарности), т. е. желают знать, исходя из наблюдений, хорошо ли приспособлен один и тот же закон для описания одного и того же явления в разные периоды времени. Например, остается ли функция макроэкономического потребления той же до и после войны? Подчинялись ли промышленные инвестиции во Франции одному и тому же закону распределения до и после введения общего рынка? Изменилась ли функция импорта стран, в прошлом колониальных, после обретения ими независимости? В этих примерах группы наблюдений определены априори: потребление до войны, потребление после войны, инвестиции до вступления в общий рынок, инвестиции после вступления в общий рынок и т. д. В случае линейной модели стабильность во времени, следовательно, может быть измерена с помощью критерия Шоу [7].

Во всех рассмотренных выше случаях проверка устойчивости относилась к двум последовательным периодам. Но она могла бы относиться и к «перемешанным» периодам времени. Например, остаются ли взаимоотношения в фирме «Филлипс» (по показателям: текущая заработная плата, цены, безработица) теми же при различных фазах конъюнктуры — подъема и спада?

Тогда возникает более трудная задача: предположив, что временной ряд был порожден несколькими режимами регрессии, нужно определить моменты изменения этих режимов. Речь идет тогда об определении различных групп наблюдений и связанных с ними режимов регрессии.

Возвращаясь к примеру с промышленными инвестициями, заметим, что теперь задача состоит не в том, чтобы проверить, изменил ли общий рынок поведение предприятий, а в том, что, зная, что это поведение менялось во времени, обнаружить один или несколько моментов, разделяющих разные режимы (и, если этого желают, связать их с изменением, происходящим в экономике страны), равно как и сами эти режимы.

10.1.2. Различные подходы

Для решения рассматриваемой задачи были предложены различные методы, которые можно разделить на две категории.

1. Случай двух режимов: поиск точки переключения. Квандт [15] выражает функцию правдоподобия как функцию от моментов времени и максимизирует ее относительно средних и дисперсий двух режимов, а также относительно моментов времени.

Фэйрлей и Хиниш [9] предполагают, что точка переключения равномерно распределена на множестве выборок, и устанавливают критерий правдоподобия.

Браун и Дарбин [1] предлагают определять рекуррентные невязки где в — число объясняющих переменных и число наблюдений), полученные при использовании по порядку (в модели и оценивать (3, основываясь на первых значениях у их. Эти невязки преобразуются в переменные, распределенные согласно нормальному закону и их кумулятивные суммы проверяются на значимость отличия от нуля.

2. Более сложная задача, предполагающая, что режимы могут прерываться и устанавливаться вновь в различные моменты времени, становится практически неразрешимой, ибо для ее решения требуется раз оценить функцию правдоподобия вместо раз.

Использовались два новых подхода. Фэйр и Джаффе [8], Гольдфельд и Квандт [10] предполагали существование дополнительной переменной которая позволяет классифицировать индивидуума согласно, критерию:

порожден режимом 1, если

порожден режимом 2, если где известно.

Мак-Ги и Карлетон [12] используют алгоритм иерархической классификации и предлагают искать (К известно), такие, что в случае обычного метода наименьших квадратов для объясняющих переменных модель записывается следующим образом:

где имеют распределение и независимы.

Агрегирование производится в смысле остаточной дисперсии. Для этого алгоритма, дорогостоящего из-за большого числа наблюдений, необходима начальная стадия, состоящая в оценивании остаточной дисперсии для всех групп из наблюдений среди наблюдений.

Если наблюдения перегруппированы таким образом, что их показатели упорядочены, на первой стадии остается тем не менее оцениваний остаточной дисперсии (следовательно, обращений -матрицы). Более того, первых этапов иерархии невозможны, и окончательное решение зависит от этих первых этапов.

10.1.3. Предлагаемый подход

Метод, который мы предлагаем, реализует синтез методов регрессии и автоматической неиерархической классификации. Неиерархическая классификация наблюдений, осуществляемая согласно

методу динамических сгущений, реализуется одновременно с вычислением гиперплоскостей регрессии. Мы получаем также типологию множества индивидуумов и множество гиперплоскостей локальных регрессий, связанных с выделенными типами, откуда и происходит название типологической или локальной регрессии.

При применении предлагаемого метода строят, исходя из разбиения (оцениваемого или выбираемого случайным образом) множества наблюдений на К классов ((фиксировано априори), последовательность из К гиперплоскостей регрессии и последовательность разбиений на К классов таким образом, чтобы минимизировать критерий, измеряющий неадекватность гиперплоскостей образованным группам (связь между этим критерием и критерием Шоу рассмотрена в 10.3.7.1).

Используя функцию назначения, по которой строится новое разбиение и функцию представительств, по которой строится новое представительство, мы решаем также задачу 2 с помощью алгоритма, менее сомнительного, чем те, в которых предполагается существование дополнительной переменной и фиксированного порога и менее дорогостоящего, чем алгоритм Мак-Ги.

В ходе изложения мы приводим необходимые понятия и результаты о псевдообращении и гребневой регрессии.