6.4.3. Понятие устойчивых осей

6.4.3.1. Влияние случайного выбора начального разбиения множества Е. Локальные оптимумы. Приближение к глобальному оптимуму

Влияние случайного выбора начального разбиения на (конечные) результаты алгоритма является общей проблемой для всех методов семейства «динамических сгущений». Чаще всего для различных начальных разбиений полученные результаты различны. Итак, приходят к тому, что задают себе следующие вопросы. Существует ли глобальный оптимум? Достижим ли он? Когда можно обоснованно утверждать, что полученный результат близок к глобальному оптимуму? Какие

процедуры можно предложить, чтобы приблизиться к глобальному оптимуму?

Говорят, что разбиение является локальным оптимумом, если и только если любая прогонка алгоритма, начинающаяся с этого разбиения, не меняет это разбиение.

Рис. 6.7. (см. скан) Данные Руспини (75 точек в

Существование локальных оптимумов гарантируется теоремами сходимости. Гипотеза инъективности критерия (которую естественно принять) гарантирует существование и единственность глобального оптимума. Но существование (даже достоверно установленное) глобального оптимума не решает проблему, пока этот оптимум не найден.

Число вариантов счета ограничено; в большинстве случаев оно очень мало по сравнению с числом локальных огггимумов, поэтому глобальный оптимум не обязательно достигается.

Что касается выбора среди уже полученных результатов, то можно показать, что глобальный оптимум для обязательно принадлежит т. е. является разбиением точно на К классов, и, следовательно, лучший из полученных локальных оптимумов для К классов (в смысле критерия будет разбиением, наиболее близким к глобальному оптимуму. Его выбор разумен и тем более обоснован, поскольку частота появления этого результата велика.

Синтез результатов, состоящий в поиске устойчивых форм и построении иерархии (см. 16, с. 50—80]), был бы неудобен (он ограничивал бы полученные результаты знанием разбиения), тогда как в духе нашего метода скорее следует интересоваться локальной структурой данных. Это привело нас к рассмотрению решения, использующего специфическую информацию, предоставляемую методом (знание локальных многообразий максимальной инерции) во всех проводимых вариантах счета, и к введению понятия устойчивых многообразий.

6.4.3.2. Понятие устойчивых осей и устойчивых q-многообразий

После того как выполнено вариантов счета, замечают, что некоторые оси появляются во всех вариантах, тогда как другие только в вариантах.

Определение.

Пусть локальный оптимум, полученный в варианте.

Ось класса называется устойчивой осью в том и только в том случае, если, каков бы ни был вариант 5, существует класс такой, что где

и

Устойчивость оси может быть распознана автоматически. Для этого нужно выполнить проверки, число которых быстро растет с числом вариантов счета и числом классов. Но устойчивые оси можно распознать эмпирически, визуально; численные расчеты (например, единичных векторов осей) позволят подтвердить или отбросить нашу гипотезу.

Замечание. Связь с понятием «устойчивых форм». Если существует устойчивая ось, то существует «устойчивая форма», имеющая эту ось в качестве главной оси инерции. В самом деле, существование устойчивой оси есть следствие существования класса, появляющегося во всех вариантах счета, т. е. «устойчивой формы».

Напротив, если в действительности не существует устойчивой оси, то «устойчивые формы» выявляют множество аффинных многообразий без большой значимости.

Рис. 6.8 (см. скан)

В принципе предыдущие определения легко обобщаются на случай устойчивых многообразий размерности большей единицы.

Пример. В искусственном примере с буквой просчитанном с следовательно, с 6 осями (хотя для описания конфигурации достаточно 3 осей) и без применения метода поиска эллипсоидов-ядер, 6 вариантов счета позволили обнаружить две устойчивые оси (появившиеся во всех вариантах) и ось, появившуюся в 3 вариантах из 6 (рис. 6.8).

Для тех же данных, обработанных с помощью модифицированного алгоритма с применением метода поиска эллипсоидов-ядер, обнаружены три устойчивые оси для всех вариантов счета (рис. 6.9).

6.4.3.3. Заключение

Существование устойчивых многообразий, выявленное автоматически или эмпирически, может служить как вспомогательная информация, например, для определения оптимального числа классов или для обоснования полученных результатов. Понятие устойчивых многообразий применимо также при исследовании локальных линейных моделей.

Рис. 6.9 (см. скан)