6.2.2. ОПТИМИЗИРУЕМЫЙ КРИТЕРИЙ W

6.2.2.1. Определение

Определим меру близости между -центрами и -разбиениями:

6.2.2.2. Интерпретация критерия

Локальный анализ — это анализ сгущения где — распределение масс, общей массы индуцированное (I и определяемое следующим образом:

или же анализ сгущения Ясно, что есть инерция распределения относительно аффинного многообразия Если рассматривают инерцию распределения относительно обозначаемую (остаточная инерция относительно распределения с полной массой 1), то

В дальнейшем выбранный критерий

интерпретируется как средневзвешенное полных масс К классов с весами, являющимися остаточными инерциями каждого класса относительно связанного с этим классом аффинного многообразия.

Для (т. е. есть аффинное многообразие размерности относительно которого класс доставляет минимум остаточной инерции) определяют

что позволяет приписать «числовое значение» распределению и сравнивать между собой два разбиения мера «рассеяния» разбиения Доказано [15], что преобразование инъективно для всякой последовательности где есть некоторый элемент

Замечание [след где оператор проектирования на матрица инерции сгущения метрика, ассоциированная с этим сгущением, собственное значение матрицы

Замечание 2. Показатель сравнивает расстояние от х до со средним рассеиванием класса вокруг

Показатель нормирован и измеряет вклад х в инерцию класса Он дает возможность оценить вклад отдельного индивидуума в класс.

6.2.2.3. Связь между критерием, полной инерцией и межклассовой дисперсией

Рассмотрим три множества.

1. Е - множество индивидуумов, снабженных массой полной массы 1, с центром тяжести g.

2. , где центр тяжести класса разбиения

3. Полная инерция относительно его центра тяжести равна

Полная инерция множества относительно его центра тяжести равна:

По теореме Гюйгенса

откуда

Второе слагаемое правой части представляет собой момент инерции множества центров тяжести (межклассовая дисперсия). Если искомые центры являются -мерными аффинными многообразиями, т. е. точками, то для каждого класса

и, следовательно,

Чтобы минимизировать критерий в этом частном случае, достаточно максимизировать межклассовую дисперсию.

Мы отсылаем читателя к методу, который описал (следуя Э. Дидэ) Ж. Бэнзекри в [1] (быстрые алгоритмы агрегирования с переменными центрами).