Главная > Методы анализа данных. Подход, основанный на методе динамических сгущений
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

5.3.2. Минимизация псевдоинерции

Пусть имеется облако из объектов полных или неполных, с весами Каждому объекту соответствует проектор (см. 5.2.1). Отыщем точку вокруг которой псевдоинерция минимальна.

Пусть По определению псевдоинерция облака вокруг а запишется:

5.3.2.1. Необходимое условие

Искомая точка есть точка минимума функции следовательно, она должна удовлетворять уравнению

где обозначает нулевой вектор Но

Таким образом, искомая точка должна удовлетворять уравнению

Во всех случаях, когда матрица обратима, точка, которая минимизирует псевдоинерцию, обязательно должна иметь вид

Следовательно, нам нужно исследовать обратимость матрицы и одновременно проверить, является ли определенная таким образом точка минимумом, а не максимумом псевдоинерции.

5.3.2.2. Природа экстремума

Для того чтобы точка определяемая уравнением (1), давала минимум функции нужно, чтобы гессиан выражения т. е. матрица была положительно-определенной. Но

Важно, следовательно, определить, при каком условии матрица будет положительно-определенной

Теорема. Если каждая из переменных наблюдается, по крайней мере, на одном объекте облака то матрица является положительно-определенной.

Для доказательства этой теоремы представим проектор в развернутом виде:

где

Тогда гипотезу «каждая переменная наблюдается, по крайней мере, на одном объекте облака» можно записать в виде «для всякого найдется такое, что Следовательно, нам необходимо установить, что при условии справедливости этой гипотезы мы имеем для любого и

Проверим последовательно эти два момента.

1) Для любого и

Но из того, что для любого следует, что

2) Легко показать, что равенство и имеет место тогда и только тогда, когда при всех

Итак, нам остается доказать: из того, что для любого найдется такое, что с необходимостью следует, что если при любом величины то Далее, в ходе всего доказательства мы полагаем, что Предположим противоположное нашему утверждению, т. е. что существует и такое, что при всех , и покажем, что в этом случае найдется такое что при всех Чтобы это сделать, запишем и в развернутом виде:

тогда

откуда следует, что если для всех то при всех

С другой стороны, из того, что вытекает, что найдется такое, что Можно, следовательно, утверждать, что найдется такое, что но при этом при всех И значит, найдется такое, что при всех Это завершает доказательство теоремы.

Следствие. Мы установили, что если каждая переменная наблюдается, по крайней мере, на одном из объектов облака, то матрица является положительно-определенной, следовательно, она обратима, а точка из удовлетворяющая уравнению (1) из 5.3.2.1, дает минимум псевдоинерции облака.

Замечание. Если рассматриваем полное облако объектов, то гипотеза, по которой каждая переменная должна наблюдаться, по крайней мере, один раз, будет всегда справедлива, поскольку в 5.2.1 оговаривалось, что мы устранили те переменные, которые не наблюдались ни на одном из объектов анализируемого облака. Если же мы анализируем некоторое подмножество полного облака и стараемся вычислить точку из которая минимизирует псевдоинерцию этого подмножества, то условие, обеспечивающее положительную определенность матрицы не обязательно будет иметь место,

5.3.2.3. Псевдоцентр тяжести

Если каждая переменная наблюдается, по крайней мере, один раз, то точка из которая минимизирует псевдоинерцию, будет определяться выражением

Мы назовем ее псевдоцентром тяжести облака. По построению

Замечание. Если диагональная матрица, то в соответствии с замечанием из 5.2.2.1

В этом случае выражение для упрощается:

Перепишем это соотноиние покоординатно. Пусть есть координата Легко подсчитать, что

С другой стороны, имеем

Откуда в конечном счете

Числитель этой дроби есть взвешенная сумма всех имеющихся наблюдений по переменной х, а знаменатель — сумма всех весов соответствующих наблюденным (по переменной объектам.

Пример. Предположим, что облако образовано тремя объектами с весами где

Пусть В качестве координат центра тяжести этого облака имеем:

Теперь предположим, что нам неизвестны величины Таким образом, будем иметь

В этом случае мы можем вычислить только псевдоцентр тяжести облака с координатами

1
Оглавление
email@scask.ru