5.2. МЕТОДОЛОГИЯ ОБРАБОТКИ НЕДОСТАЮЩИХ ДАННЫХ

5.2.1. Оператор проектирования и подпространство, соответствующие неполно описанному объекту

Будем предполагать, что каждый объект «снабжен» некоторым весом Если не пропущено ни одного наблюдения, то каждый объект можно представить в форме вектора из

где значение переменной на объекте

Само собой разумеется, что переменные, не наблюдаемые ни на каком объекте, так же как объекты, на которых ни одна из переменных не была зарегистрирована, предварительно устраняются.

Рис. 5.1

Пусть на объекте зафиксированы значения только переменных; соответственно других переменных не были статистически обследованы на этом объекте.

Если мы перенумеруем переменные, то вектор можно разложить на две части — известную и неизвестную:

Неизвестная часть соответствует значениям, которые приняли бы необследованных переменных, если бы они наблюдались. Будем действовать так, как будто мы знаем в отношении (элемента пространства только его проекцию на векторное подпространство пространства изоморфное к пространству (см. рис. 5.1). Каждому объекту ставим в соответствие оператор проектирования (или просто проектор)

Если перенумеровать исследуемые переменные указанным выше способом, то будем иметь

векторное подпространство, изоморфное к пространству при несколько вольном словоупотреблении мы не будем в дальнейшем различать Пусть далее

векторное подпространство, изоморфное к пространству в дальнейшем мы также не будем различать в обозначениях пространства и Если переменные множества переиндексированы таким образом, что переменные, по которым нет наблюдений на объекте оказываются последними в ряду всех рассматриваемых переменных, матрица проектора которую мы идентифицируем с будет иметь вид

где единичная матрица размерности

Покажем на примере, какой вид принимает эта матрица, когда переменные не переиндексированы.

Пример. Предположим т. е. и в качестве наблюдения имеем

где означает недостающие наблюдения. Тогда а матрица соответствующего проектора будет иметь вид

Пусть и Тогда

Замечание. Если наблюдение является полным, т. е. если на объекте зарегистрированы значения всех переменных, то т. е. задается матрицей, соответствующей эндоморфизму идентичности