10.3. АЛГОРИТМ И ЕГО СВОЙСТВА

10.3.1. Функции f и g

Функция назначения является преобразованием в

Определение 5. Пусть функция близости между индивидуумом и ядром определенная формулой

где Тогда для полагают

В случае если то относят к классу с наименьшим индексом.

Функция представительства это преобразование из

где вектор, минимизирующий критерий , т. е. откуда, используя нормальные уравнения и вводя псевдообратную матрицу, получим

где некоторый вектор из

Когда объясняющие переменные коррелированы или когда матрица плохо обусловлена, мы выбираем в качестве вектор с минимальной нормой (см. 10.3.4), чтобы избежать при восстановлении переменной сильного влияния объясняющих переменных с завышенными значениями (что приводит к иллюзорному восстановлению У).

10.3.2. Последовательности ...

Последовательность определяется следующим образом:

выбираются произвольно или оцениваются.

Последовательность определяется как (см. 1.3.5).

10.3.3. Сходимость алгоритма

Предложение 5. Последовательность сходится убывая. Доказательство. Покажем, что

1) и 2) не возрастает.

Докажем 1):

но — вектор, минимизирующий

откуда следует 1). Докажем 2): имеем

где

В критериях каждый элемент из участвует один и только один раз.

Пусть и индексы классов, к которым принадлежит элемент в разбиениях соответственно. Тогда имеем

По построению разбиения

откуда, суммируя эти неравенства по получим 2). Из 1) и 2) следует, что последовательность не возрастает. Так как ограничена снизу нулем, она сходится. Сходимость достигается за конечное число этапов, так как множество конечно и элементы последовательности принадлежат к конечному множеству

Предложение 6. Последовательность сходится к несмещенному элементу, т. е.

Доказательство. Как показано выше, последовательность сходится и достигает своего предела за конечное число шагов, следовательно, такое, что

Но

откуда Последнее равенство можно переписать в виде

По построению вектора имеем

Равенство возможно, только если

но тогда следовательно,

Поскольку то такое, что Таким образом, последовательность стабилизируется. Пусть ее предел. Имеем Более того,

несмещенный элемент.