ОТ РЕДАКТОРА

Имя первого из авторов—профессора университета в Киле Фридриха Бахмана — знакомо советскому читателю по переводу его обстоятельной монографии, в которой излагаются развиваемые кильской школой идеи в области оснований (евклидовой и неевклидовой) геометрии

Настоящая книга носит совсем другой характер. Она начинается с достаточно поверхностной (и широко известной) теоремы середины сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. (У авторов вершины четырехугольника могут принадлежать любому — конечномерному или бесконечномерному — векторному пространству, построенному над почти любым полем; читателю, однако, мы рекомендуем рассматривать построения авторов на обычной плоскости или в трехмерном пространстве.) С этого простого предложения начинает раскручиваться цепь теорем — и как далеко эта цепь ведет! Вначале каждому n-угольнику сопоставляются три других n-угольника: вершинами одного из них являются середины сторон исходного n-угольника (отображение); вершинами второго — точки пересечения медиан (центры тяжести) треугольников, образованных тройками соседних вершин исходного n-угольника (отображение); вершинами третьего — четвертые вершины параллелограммов, построенных на трех соседних вершинах исходного n-угольника (отображение). Эти «циклические операции» отображают множество всех n-угольников в себя, но, вообще говоря, не на себя: «полное» множество всех n-угольников они могут

перевести в его подмножество, в определенный «циклический класс» n-угольников.

Так, отображение переводит множество всех -уголь-ников в класс параллелограммов; три отображения и взятые в любом порядке, «сжимают» множество всех n-угольников в класс шестикратных точек n-угольников как видно из следующей «коммутативной диаграммы»:

(см. скан)

Далее понятия циклической операции (отображающей множество всех n-угольников в себя) и циклического класса n-угольников обобщаются; рассматриваются всевозможные циклические классы n-угольников — цепочка таких классов ведет от множества всех n-угольников к «нулевому классу», содержащему единственный

(вырожденный!) n-угольник, все вершины которого совпадают с началом координат. Впрочем, выражение «цепочка классов» может создать у читателя неправильное впечатление: структура циклических классов оказывается достаточно сложной и разветвленной; в ней устанавливается определенный «порядок и вводятся алгебраические операции, превращающие эту структуру в булеву алгебру классов n-угольников, на всем протяжении книги служащую одним из основных инструментов исследования.

Постепенно изложение обогащается новыми алгебраическими и геометрическими деталями. Число рассматриваемых классов n-угольников растет; рассматриваемые свойства систем n-угольников становятся более глубокими. Меняются и сопровождающие изложение задачи (которыми мы настоятельно советуем не пренебрегать): сначала это несложные упражнения; затем среди них появляются и некоторые «большие темы», которые могут послужить трамплином для самостоятельной исследовательской работы читателя. На ранней стадии исследования большую роль приобретает алгебра многочленов, в частности «многочлены деления круга» (делители многочленов ; затем неожиданно возникают мотивы, навеянные теорией чисел. Используемые алгебраические средства становятся более глубокими: наряду с булевой алгеброй применяются некоторые понятия теории структур (перечисленные в приложении II); специально анализируются случаи того или иного основного поля, над которым строится «пространство n-угольников» (в частности, специально рассматриваются многоугольники над полем вещественных или комплексных чисел). И при этом все построения остаются совершенно прозрачными и элементарными.

Автор настоящих строк надеется, что эта своеобразная и очень красивая «микротеория», выразительно демонстрирующая на сравнительно элементарном уровне некоторые типичные черты «больших» математических теорий, вызовет интерес читателей. Кажется только, что авторы несколько перегрузили изложение не особенно существенными алгебраическими деталями, и преподавателю, который захотел бы использовать материал этой книги в занятиях с начинающими математиками, следует позаботиться о том, чтобы раскрыть «ядро» развиваемых здесь

конструкций, не слишком углубляясь в частности, составляющие «оболочку» этого ядра (см. также авторский обзор содержания на стр. 12).

Немногочисленные подстрочные примечания переводчика и редактора книги обозначаются звездочками в отличие от нумерованных сносок авторов; звездочками же отмечены названия тех фигурирующих в списке литературы работ, ссылки на которые отсутствуют в немецком оригинале. Мы также изменили порядок приложений, поскольку то из них, которое посвящено многочленам деления круга, более тесно, чем второе, примыкает к основному тексту книги.

И. М. Яглом

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ

Математика обладает способностью открывать в окружающих нас вещах новые стороны и неожиданным образом расширять наши представления.

П. С. АЛЕКСАНДРОВ

Это книга об n-угольниках, классах n-угольников и отображениях множества n-угольников в себя.

n-угольники относятся к изначальным геометрическим объектам. Каждый знаком с какими-либо классами n-угольников, и геометрические наблюдения, на которых основывается эта книга, настолько элементарны, что будут понятны всем (см. введение). Однако трактовка более общих вопросов уже опирается на определенный алгебраический аппарат.

Для удобства использования этого аппарата мы определяем n-угольник как набор

элементов некоторого векторного пространства над полем, в котором Перефразируя Шоке, можно сказать, что понятие векторного -набора открывает нам «царский путь» в геометрию — путь линейной алгебры.

Основным объектом нашего исследования являются определенные множества n-угольников, которые называются циклическими классами. Прототип этого понятия (при класс параллелограммов, т. е. множество n-угольников для которых В общем случае циклический класс состоит из всех n-угольников, удовлетворяющих некоторой «циклической» системе однородных линейных уравнений с коэффициентами из данного поля.

Основная теорема о циклических классах утверждает, что число циклических классов для каждого конечно,

точнее, что циклические классы образуют некоторую конечную булеву алгебру. Произвольный n-угольник однозначно разлагается в «сумму» n-угольников из «атомарных» циклических классов. Таким образом, n-угольники обладают некоторой атомарной структурой. Краеугольные камни — n-угольники из атомарных классов — отличаются определенными свойствами правильности.

Алгебраические средства, которыми мы пользуемся, лежат в основном русле алгебры, и одна из целей этой книги состоит в том, чтсбы описать очень красивые, на наш взгляд, связи между геометрией n-угольников и алгеброй.

Мы предполагаем, что читатель знаком с основными фактами линейной алгебры и такими алгебраическими понятиями, как группа, кольцо, поле, векторное пространство, гомоморфизм. Необходимые понятия и результаты теории структур, а также основные свойства многочленов деления круга изложены в двух приложениях.

Мы весьма признательны Г. Киндеру (написавшему приложение о структурах), нашему постоянному собеседнику, одному из авторов развиваемой здесь теории, а также У. Шпенглеру, прорешавшему 126 упражнений. За помощь при корректуре мы благодарим Л. Бреккера и П. Клопша.