§ 2. Многочлены деления круга

Сохраним предположение о том, что Под многочленом деления круга мы будем понимать многочлен со старшим коэффициентом 1, корнями которого являются первообразные корни степени из 1, т. е. многочлен

Степень многочлена деления круга равна и пока он определен лишь над полем разложения многочлена

Так как множество всех корней из 1 состоит из первообразных корней степени где пробегает множество всех делителей а первообразные корни степени являются корнями многочлена деления круга, то

Формула (1) однозначно определяет Из нее прежде всего следует, что Если известны для всех то многочлен можно получить из этой формулы, применяя обычный алгоритм деления целочисленных многочленов. Отсюда следует, что коэффициенты при любом принадлежат простому подполю поля К и целочисленны, если Поэтому эти многочлены можно рассматривать над простыми полями.

Над полем рациональных чисел многочлены деления круга неприводимы: представление (1) является разложением многочлена на неприводимые сомножители.

Примеры.

Гомоморфизм на -простое число, не делящее продолженный на соответствующие этим полям кольца многочленов, переводит многочлен деления круга над полем рациональных чисел в многочлен деления круга над простым полем характеристики

Пользуясь формулами обращения Мёбиуса, можно получить из формул (1) следующее выражение для

Здесь функция Мёбцуса натурального аргумента, определенная следующим образом:

Пример. Если простое число, то

и, значит,

Если свободное от квадратов ядро (см. стр. 171; ), то

Этот результат можно получить из формулы (2), приняв во внимание, что функция Мёбиуса не свободного от квадратов аргумента равна 0. Следовательно, многочлены деления круга достаточно определить для свободных от квадратов индексов.

Многочлены деления круга удовлетворяют следующим рекуррентным соотношениям:

Доказательство. Запишем равенства (4) без дробей:

Левые и правые части этих равенств являются нормированными многочленами одинаковых степеней, имеющими одинаковые корни, а значит, совпадают.

Формулы (4) позволяют вычислять многочлены деления круга для любого Исходными в этих вычислениях являются многочлены

Многочлен кососимметричен, все остальные многочлены деления круга симметричны (см. § 1 гл. 12):

Из (3) следует, что достаточно доказать (5) для свободных от квадратов Для простых многочлены очевидно, симметричны. Если симметричен простое число, не делящее то симметричен как частное симметрических многочленов (см. (4)).

Значение многочлена деления круга при (сумма коэффициентов многочлена) равно

Согласно (3), достаточно ограничиться случаем свободного от квадратов При утверждение (6) очевидно. Далее, если (6) верно для то в силу (4) при простом имеем

что и требовалось доказать.

Вот еще одно соотношение для нечетных

Согласно (3) и (4), это соотношение достаточно доказать для нечетных простых

Упражнения

(см. скан)