ГЛАВА 3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ЦИКЛИЧЕСКИХ КЛАССАХ

§ 1. Сравнения в кольце главных идеалов

Пусть коммутативное кольцо с 1. Единицы (или обратимые элементы) кольца образуют по умножению абелеву группу Элементы называются ассоциированными, если существует такой элемент и что (в таком случае мы пишем Ассоциированность является отношением эквивалентности в Класс ассоциированных с а элементов обозначим через

Порожденный элементом а главный идеал мы будем, как обычно, обозначать через Очевидно, что следует (но не наоборот!).

Лемма. Пусть идемпотентные элементы коммутативного кольца с 1. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

Отсюда следует, что класс ассоциированных элементов содержит не более одного идемпотентного элемента.

Доказательство. Очевидно, что 1) 2) и 3) 1); таким образом, остается доказать, что 2) 3).

Множество состоит из элементов где Так как —идемпотент, то умножение на не меняет элементов из В частности, если то Аналогично Отсюда в силу коммутативности кольца следует, что

Кольцом главных идеалов называется область целостности с 1, в которой всякий идеал является главным. Известные примеры колец главных идеалов: кольцо целых чисел, кольцо многочленов над произвольным телом.

В кольце главных идеалов всякий отличный от нуля элемент, не являющийся единицей кольца, представим в виде произведения простых элементов — и это представление единственно с точностью до порядка сомножителей и замены их ассоциированными.

Пусть теперь кольцо главных идеалов, и пусть задан элемент Будем говорить, что а сравним с по модулю

Сравнение является отношением эквивалентности в согласованным со сложением и умножением элементов

Элемент назовем идемпотентным по модулю если или, что то же самое, Если идемпотентен то тоже идемпотентен Произведение и булева сумма двух элементов, идемпотентных тоже идемпотентны

Элемент из назовем свободным от квадратов, если он представим в виде произведения попарно неассоциированных простых элементов:

Для случая, когда свободен от квадратов, мы докажем две теоремы об идемпотентных элементах. При этом мы будем пользоваться простейшими свойствами сравнений, знакомыми читателю из элементарной теории чисел и справедливыми для любого кольца главных идеалов.

Итак, пусть имеет вид Нам понадобятся следующие утверждения:

1°. тогда и только тогда, когда для всех

2°. Элемент тогда и только тогда идемпотентен когда для каждого он сравним либо с 0, либо с 1.

Доказательство. Следующие соотношения эквивалентны:

для всех для каждого либо либо

3°. («Китайская конструкция».) Для всякого существует элемент такой, что

Из (2) следует

В силу 2°, идемпотентен а в силу 1°, однозначно определен Справедливы равенства

Доказательство. Так как и — взаимно просты, то сравнение — разрешимо. Обозначим через левую часть этого сравнения, в котором вместо стоит некоторое его решение. Очевидно, удовлетворяет сравнениям (1), (2), а следовательно, и (2). Сравнения (3), (4) удовлетворяются по модулю всех а в силу 1° и частичных сумм выражения идемпотентны и попарно не сравнимы Всякий идемпотентный элемент сравним с одной из этих частичных сумм.

Доказательство. Если -подмножество множества то, согласно (1) и (2),

Это означает, что частичные суммы идемпотентны (утверждение 2°). Всякие две формально различные частичные суммы несравнимы если например, присутствует в одной из них и отсутствует

в другой, то первая сумма сравнима с единицей, вторая — с нулем Если произвольный идемпотентный элемент, то в силу 2° существует подмножество множества такое, что для для Отсюда следует, что для всех а значит,

Итак, доказана

Теорема 1. Пусть кольцо главных идеалов и свободный от квадратов элемент вида существует ровно идемпотентных по модулю элементов, попарно не сравнимых между собой и таких, что каждый идемпотентный элемент сравним ровно с одним из этих элементов.

Теорема 2. Пусть кольцо главных идеалов и свободен от квадратов. Всякий элемент из ассоциирован по модулю с некоторым идемпотентным по модулю элементом.

Скажем точнее: для всякого существуют идемпотентный по модулю элемент и элемент и, такие, что

Доказательство. Пусть имеет вид идемпотентные по модулю элементы «китайской конструкции». Разобьем все простые элементы на две группы: те, которые делят и те, которые а не делят. Пусть Положим

Элемент идемпотентен по модулю Как и в доказательстве 4°,

Отсюда следует, что для всех первый сомножитель, а при а второй сравнимы с нулем Таким образом, или

[Последнее сравнение следует из того, что Положим а Тогда справедливо сравнение (5) и

Это означает, что ни один из простых не делит и. Следовательно, взаимно просты и сравнение (6) разрешимо. Теорема доказана.

Замечание. Идемпотентным и ассоциированным с элементом является а не Такие обозначения выбраны потому, что, как показано в доказательстве, элемент ассоциирован а не с