§ 2. Идеал-вложение

Потребуем теперь, чтобы было кольцом главных идеалов; по-прежнему -модуль. Справедливы следующие три утверждения:

Они означают, что пересечение и сумма двух ядер — снова ядро и что всякий идеал, содержащий отличный от нуля аннулятор, сам является аннулятором.

Доказательство. следует из (8). Докажем 2°. Включение очевидно. Пусть

Если то утверждение тривиально. Если то существуют элементы такие, что [Действительно, есть общий делитель и потому представим в виде их линейной комбинации.] Итак, откуда, поскольку 0, имеем Кроме того,

Пусть теперь Тогда следовательно, С другой стороны,

Включение доказано.

Докажем 3°. Это утверждение эквивалентно следующему: из следует, что Положим В силу а в силу Так как то существует такой что

Для всякого имеем следовательно, поэтому Итак, аннулирует Существует такой и, что Так как то из (10) следует, что следовательно, т. е. Из двух взаимно обратных включений вытекает, что

Следствием теоремы 1 и утверждений является

Теорема 2 (идеал-вложение). Если кольцо главных идеалов и -некоторый -модуль, то и являются подструктурами соответственно структуры идеалов кольца и структуры подмодулей модуля отображение является антиизоморфизмом на

Если то есть конечный интервал структуры идеалов из

Таким образом, если то структура изоморфна интервалу который в свою очередь антиизоморфен структуре делителей элемента (см. § 4 гл. 7). Следовательно, существует изоморфизм структуры делителей элемента на структуру

В частности, если идеал свободен от квадратов и число простых делителей элемента то конечные булевы алгебры из 2 элементов.