§ 4. Два типа циклических классов

Всякий циклический класс содержит тривиальный n-угольник

1°. Если циклический класс содержит тривиальный n-угольник, отличный от О, то он содержит все тривиальные n-угольники.

Доказательство. Предположим, что данный циклический класс определяется набором коэффициентов Тривиальный n-угольник принадлежит этому циклическому классу. Это означает, что он удовлетворяет системе уравнений (2):

Так как по условию а то Но если то (7) удовлетворяется при любом а.

2°. Всякий циклический класс вместе с каждым n-угольником А содержит и его центр тяжести А.

Доказательство, n-угольник а А является средним арифметическим n-угольников последовательности (1), включая исходный. Поэтому он является решением однородной циклической системы как линейная комбинация ее решений.

Из 1° следует, что существует два типа циклических классов:

A. Циклические классы, охватывающие класс тривиальных n-угольников. Класс такого типа вместе с n-угольником содержит все n-угольники

получаемые из всевозможными параллельными переносами. Другими словами, этот класс инвариантен относительно параллельных переносов. Такие циклические классы мы назовем свободными.

B. Циклические классы, которые из тривиальных n-угольников содержат только n-угольник О. Из 2° следует, что всякий такой циклический класс содержится в нуль-изобарическом классе Эти циклические классы назовем центральными.

Сформулируем окончательный результат:

Теорема 1. Существует два типа циклических классов: свободные, т. е. те, которые содержат класс тривиальных n-угольников, и центральные, содержащиеся в нуль-изобарическом классе. Свободные циклические классы являются пространствами решений циклических систем с нулевой суммой коэффициентов, центральные—пространствами решений систем с суммой коэффициентов, отличной от нуля.

максимальный, Ли минимальный свободные циклические классы; -максимальный, минимальный центральные циклические классы. На приведенной диаграмме (рис. 17) связь между этими четырьмя основными классами изображена наглядно: циклические классы отмечаются точками, а соединяющие эти точки наклонные или вертикальные отрезки обозначают включение ниже расположенного класса в класс, расположенный выше на том же отрезке. При этом свободные циклические классы можно представлять себе расположенными где-то на отрезке, соединяющем а центральные классы — на отрезке, соединяющем

Пример. Пусть Тогда свободный циклический класс образуют параллелограммы, а центральный циклический класс, определяемый системой параллелограммы с центром тяжести в начале .

Рис. 17.

Для любого n-угольника n-угольник принадлежит Действительно, в силу (4)

Геометрически n-угольник получается из А таким параллельным переносом, что его новый центр тяжести совпадает с началом .

Если А принадлежит некоторому циклическому классу, то, согласно 2°, ему же принадлежит а следовательно, и . Позднее мы докажем, что отображение

как и следует ожидать, ставит в соответствие каждому свободному циклическому классу содержащийся нем центральный класс и что это соответствие взаимно однозначно.

Итак, два типа классов естественным образом связаны друг с другом; поэтому мы не потеряем никаких геометрических свойств n-угольников, если ограничимся лишь одним из этих типов. В наших примерах мы будем предпочитать свободные циклические классы.

Упражнения