ВВЕДЕНИЕ

Во введении мы будем пользоваться нестрогими соображениями наглядности. Все геометрические образы предполагаются вложенными в некоторое евклидово пространство произвольной размерности.

Вспомним простую теорему: во всяком четырехугольнике середины сторон образуют параллелограмм (рис. 1).

Рис. 1.

B этой теореме всякому четырехугольнику А ставится в соответствие новый четырехугольник образованный серединами сторон А. Тем самым задано некоторое отображение множества четырехугольников в себя. В результате этого отображения получается не все множество

четырехугольников, а некоторый его подкласс — класс параллелограммов: отображение «специализирует» множество четырехугольников. Специализация проявляется также в понижении размерности: ведь произвольный четырехугольник, вообще говоря, имеет размерность 3, в то время как параллелограмм самое большее двумерен.

Итак,

1°. Если А — четырехугольник, то параллелограмм.

Естественно возникает общий вопрос: для всякого ли множество n-угольников специализируется при подобном отображении? Для нечетных ответ оказывается отрицательным (для это очевидно). Для специализация существует, но она не так наглядна, как при Вообще, справедливо такое утверждение:

2°. Середины сторон произвольного n-угольника А образуют n-угольник стороны которого, взятые через одну, образуют замкнутые векторные многоугольники.

Последнее утверждение можно уточнить следующим образом. Если мы условимся обозначать стороны многоугольника попеременно через то -стороны, взятые отдельно, образуют замкнутый векторный многоугольник и то же самое верно для -сторон. Так, стороны изображенного на рис. 2 шестиугольника Томсена (см. [25], рис. 3, или [22], рис. 28) обладают указанным свойством. Этим же свойством обладает изображенная на рис. 3 пятиконечная звезда.

К сожалению, термин «параллелограмм» не охватывает никаких n-угольников, где Чтобы исправить положение, введем новое понятие, обобщающее понятие параллелограмма и имеющее смысл для каждого четного А именно, n-угольник назовем -параллелограм-мом, если каждая из его сторон образует с противоположной стороной обычный параллелограмм. К числу -па-раллелограммов принадлежат, например, контуры обычно употребляемых параллельных проекций (параллелепипедов

(кликните для просмотра скана)

(см. рис. 4)); однако, разумеется, 6-параллелограмм может и не быть плоским.

Если А — некоторый n-угольник, то не обязан быть -параллелограммом. Можно, однако, поставить вопрос о том, нельзя ли указать отображение, которое переводит множество всех n-угольников в класс -параллелограммов.

Чтобы дать ответ на этот вопрос, модифицируем использованное ранее отображение. Середины сторон n-угольника являются центрами тяжести двух последовательных его вершин. Отсюда возникает естественное видоизменение этой конструкции: вместо середин сторон условимся рассматривать центры тяжести трех последовательных вершин n-угольника. Полученные центры тяжести образуют новый n-угольник который мы и поставим в соответствие исходному n-угольнику А. На рис. 5 приведен пример указанного построения: точка 1 является центром тяжести вершин 1, 2, 3; точка 2 — вершин все полученные точки являются вершинами n-угольника при этом имеет место такое предложение:

3°. Для любого n-угольника А n-угольник А является -параллелограммом.

Рассмотрим, наконец, еще одно отображение. Любые три последовательные вершины n-угольника дополним четвертой точкой до параллелограмма. (На рис. 6 точка является четвертой вершиной параллелограмма точка -параллелограмма 2, 3, 1, 2; точка 3 — параллелограмма 3, 1, 2, 3.) Множество четвертых вершин параллелограммов образует n-угольник, который мы обозначим через А. Наше новое отображение — это отображение При этом справедливо следующее утверждение:

4°. Для всякого n-угольника А шестиугольник А является призмой.

Под призмой мы понимаем то, что наглядно изображено на рис. 8, а и б. (Обратите внимание на нумерацию вершин!) Утверждение 4° тем более замечательно, что для отображение невырожденно, т. е. никак не специализирует множество всех n-угольников.

Вот еще одно утверждение, в котором сам исходный n-угольник принадлежит специальному классу:

(кликните для просмотра скана)

5°. Если А есть n-угольник, в котором вершины, взятые через одну, образуют параллелограммы, то есть -параллелограмм (рис. 9).

Рис. 8.

Рис. 9.

Фигурирующий в n-угольник А может быть построен следующим образом. Возьмем два произвольных параллелограмма и перенумеруем их вершины соответственно только нечетными и только четными числами (1, 3, 5, 7) и (2, 4, 6, 8). Тогда искомый n-угольник А есть n-угольник (1, 2, 3, 8).

Множество n-угольников специализируется при любом из рассмотренных отображений (см. утверждения 2°, 3° и 4°). Последовательное выполнение этих отображений все более и более сужает специализацию:

6°. Для любого n-угольника А n-угольник А является аффинно-правильным (см. рис. 10), а тривиальным n-угольником, т. е. -кратно взятой точкой.

При этом снижается максимально возможная размерность n-угольников: если исходный n-угольник может быть пятимерным, то аффинно-правильиый n-угольник не более чем двумерен, а тривиальный имеет размерность 0.

Как можно доказать сформулированные утверждения?

Первый возможный для этого путь основан на элементарной геометрии. Например, утверждения 1° и 5° следуют из теоремы: средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине (см. рис. 11 и 12). Далее, пусть в четырехугольнике (1, 2, 3, 4) точки являются центрами тяжести соответственно вершин 1, 2, 3 и 2, 3, 4. Тогда отрезок параллелен стороне и равен ее трети (рис. 13). Шестикратное применение этого факта доказывает утверждение 3°.

Второй путь основан на векторной алгебре. Выберем произвольно в пространстве начало координат. Тогда точка пространства задается своим радиусом-вектором, а n-угольник — набором радиусов-векторов — вершин n-угольника:

При этом мы далее не будем различать точку и отвечающий ей вектор, а также n-угольник и отвечающий ему набор -векторов. Все свойства (1° — 6°) легко перевести на язык векторной алгебры, после чего их доказательство сведется к простым выкладкам.

Доказательство 1°. Заметим, что четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда или

т. е. когда знакопеременная сумма его вершин равна нулевому вектору . Пусть теперь Тогда,

(кликните для просмотра скана)

очевидно,

Легко проверить, что знакопеременная сумма вершин четырехугольника всегда равна о.

Доказательство 2°. В n-угольнике стороны, взятые через одну, образуют два замкнутых векторных n-угольника тогда и только тогда, когда

(В каждом из равенств в скобках стоят векторы сторон, взятых через одну.) Но каждое из этих равенств можно переписать так: таким образом, знакопеременная сумма вершин n-угольника должна равняться нулю.

Если теперь произвольный n-угольник, то

Легко проверить, что знакопеременная сумма вершин n-угольника всегда равна о.

Доказательство 4°. Нетрудно видеть, что -уголь-ник является призмой тогда и только тогда, когда

(см. рис. 8, а, б). Пусть произвольный n-угольник. Через обозначим четвертые вершины соответствующих параллелограммов: Тогда из находим

Легко проверить, что всегда

так как каждая из этих разностей равна Итак, призма.

Доказательство утверждений 3°, 5°, 6° предоставляется читателю.

Утверждения возникли из рассмотрения естественных геометрических отображений; они показывают, как специализируются при тех или иных отображениях определенные классы n-угольников, где фиксировано. Существует много других теорем такого типа. Чтобы очертить общие рамки наших исследований, необходимо строго установить, какие множества n-угольников мы называем «классами» и какие отображения n-угольников нас интересуют, т. е. дать основные определения. Простейшие примеры, разобранные выше, позволяют надеяться, что мы напали на след глубоких закономерностей, связывающих классы n-угольников и определенные отображения.

Теперь от примеров мы перейдем к общим понятиям циклического класса и циклического отображения. Определениям этих понятий посвящены гл. 1 и 2 нашей книги.