§ 4. Идеалы и делимость в кольце главных идеалов

Пусть кольцо главных идеалов. Включение эквивалентно утверждению, что делит Если то все ассоциированные с элементы делят любой элемент, ассоциированный с В частности, утверждению 1) эквивалентно 2) а если -область целостности, то и 3)

Сумма идеалов и есть идеал, порожденный элементов пересечение идеалов есть идеал, порожденный элементов и элементов определяются этими свойствами с точностью ассоциированности.

Отношение «делит» и понятия и переносятся на классы ассоциированных элементов. Множество классов ассоциированных элементов является структурой с операциями и в качестве (структурных) максимума и минимума. Отношение «делит» является в этой структуре отношением частичной упорядоченности. Соответствие является антиизоморфизмом структуры на структуру идеалов кольца Обе эти структуры обладают свойством дистрибутивности (см. приложение II).

В кольце главных идеалов разложение на простые множители однозначно (точная формулировка приведена в § 1 гл. 6). Отсюда следует важное свойство колец главных идеалов: в них всякая возрастающая цепочка идеалов обрывается.

Пусть Классы элементов, ассоциированных с делителями образуют подструктуру назовем ее -подструктурой структуры Структура также дистрибутивна и при конечна.

Если свободен от квадратов, т. е. допускает представление

где попарно не ассоциированные простые элементы то частичных произведений из попарно не ассоциированы и представляют собой все делители числа (пустое частичное произведение считаем

равным 1). Очевидно, что -подструктура является структурой с дополнениями, даже булевой алгеброй с элементами и с простыми элементами в качестве атомарных.

Идеал будем называть свободным от квадратов, если имеет вид