§ 5. Примеры Im-вложений

Булева подалгебра алгебры порожденная одним элементом а, состоит из элементов Посредством -вложения получаются четыре основных циклических класса (рис. 54; см. § 4 гл. 1).

Построим булеву подалгебру алгебры порожденную двумя элементами где Булевы минимальные многочлены от суть

Многочлены и являются системой атомарных элементов подалгебры Следовательно, она содержит элементов сумм минимальных многочленов; ими являются 0, атомарные элементы, дополнительные к ним элементы и 1. [Это верно для любой подалгебры где произвольная изобарическая циклическая проекция

На рис. 55 изображена диаграмма булевой алгебры Диаграмма циклических классов, полученная посредством -вложения, знакома нам по § 3 гл. 4

(см. рис. 49). Теперь мы знаем, что эти восемь циклических классов образуют булеву алгебру относительно операций суммы и пересечения.

Интересно исследовать булеву подалгебру алгебры порожденную всеми циклическими проекциями — фиксировано). При и вообще при где простое число, она имеет тип рассмотренной выше алгебры.

Рис. 55.

Пусть теперь Подалгебра порождена проекциями Можно считать, что она порождена только элементами Минимальные многочлены от и

отличны от нуля, а следовательно, являются системой атомарных элементов подалгебры состоящей из элементов — сумм минимальных многочленов. Это восемь изобарических отображений

(они разбиты на пары -дополннтельных, записанных столбцах) и восемь отображений с нулевой суммой

коэффициентов, которые получаются из (23) вычитанием элемента а, или, что то же самое, умножением на [см. формулу (2) гл. 3].

Теорема 4. Пусть Булева алгебра, порожденная четырьмя хордовыми усреднениями (здесь ), содержит 16 циклических проекций. Образами этих проекций в являются восемь свободных циклических классов из § 8 гл. 1 и соответствующие им центральные классы. Эти 16 циклических классов n-угольников образуют булеву алгебру в структуре, являющейся подпространством векторного пространства n-угольников.

Доказательство. Достаточно установить справедливость второго утверждения теоремы, так как первое уже было доказано выше, а третье следует из второго на основании теоремы 3. Осталось найти образы при проекциях (23) и соответствующих им неизобарических проекциях. Образы первых трех пар из (23) получены в теоремах 1 и 2 гл. 4. Далее, согласно § 1 гл. 4,

— класс аффинно-правильных n-угольников и

класс призм. Образами при неизобарических циклических проекциях из являются центральные классы, соответствующие перечисленным свободным (второе правило из § 2 гл. 3), что и доказывает теорему.

Как известно, единица представима в виде суммы атомарных элементов (22) из

Посредством -вложения (дополнение к теореме 3) получаем разложение

Справа стоят атомарные классы булевой алгебры, состоящей из 16 циклических классов n-угольников (см. рис. 46). Из (25) следует

Теорема 5. Всякий n-угольник однозначно представим в виде суммы тривиального n-угольника, трижды пройденного 2-угольника с центром тяжести , дважды пройденного n-угольника с центром тяжести и аффинно-правильного n-угольника с центром тяжести .

Рис. 56, Разложение n-угольника с центром тяжести о в сумму призмы с центром тяжести и аффинно-правильного n-угольника с центром тяжести .

Применим (24) к n-угольнику

Это и есть искомое разложение А: первая компонента Это "тривиальный шестиугольник — центр тяжести трижды пройденный n-угольник, состоящий из центров тяжести хордовых n-угольников n-угольника аналогично, -дважды пройденный n-угольник середин диагоналей А. Вторая и третья компоненты (26) получаются таким сдвигом чтобы их центр тяжести совпал с нулевой точкой.

6-угольник является призмой. Опишем ее построение: вершина А является четвертой вершиной параллелограмма для тройки вершина центр тяжести вершина Будем говорить, что призма А натянута на центры тяжести хордовых многоугольников многоугольника А. Очевидно, что если А — призма, то

Четвертая компонента А — многоугольник есть аффинно-правильный 6-угольник с центром тяжести ; мы назовем его аффинно-правильной компонентой 6-угольника А.

Просуммируем полученные результаты.

Теорема 6. Пусть -произвольный 6-угольник и А— призма, натянутая на центры тяжести его хордовых многоугольников. Тогда является аффинно-правильным 6-угольником с центром тяжести (см. рис. 56).

Замечательно соотношение размерностей : многоугольник А, вообще говоря, пятимерен, призма А не более чем трехмерна, аффинно-правильный 6-угольник не более чем двумерен.

Упражнения

(см. скан)