ГЛАВА 11. КОМПЛЕКСНЫЕ КОМПОНЕНТЫ n-УГОЛЬНИКА

§ w-n-угольники, правильные n-угольники

Пусть некоторый корень степени из 1, принадлежащий полю всегда принадлежит полю -Назовем такой n-угольник, в котором каждая следующая вершина получается из предыдущей умножением на

Если то все вершины n-угольника (1) принадлежат одномерному подпространству пространства

Если то множество совпадает с классом тривиальных n-угольников. Если w-n-угольников то корень многочлена следовательно,

Отсюда видно, что при всякий n-угольник векторного пространства V имеет центр тяжести действительно,

Вместе с полю К принадлежит также Если вершины n-угольника (1) переписать в обратном порядке, то получится и так можно получить каждый При только нулевой n-угольник О является одновременно n-угольником и n-угольником.

n-угольники образуют циклический класс, число степеней свободы которого равно 1. Он является атомарным классом, определенным простым делителем

Действительно, при n-угольники (1) являются решениями циклической системы множество n-угольников совпадает с множеством всех n-угольников и утверждение остается справедливым (ср. § 3 гл. 6).

Если К содержит все корни степени из 1, т. е. если разлагается в на линейные множители, то для всякого корня степени из 1 имеется свой класс n-угольннков и справедлива

Теорема 1. Если поле К содержит все корни степени из 1, то атомарными циклическими классами n-угольников являются классы n-угольников, где пробегает все корни степени из 1 (см. § 3 гл. 6 или теорему 5 гл. 8).

Если к n-угольннку (1) прибавить произвольный тривиальный n-угольник, получим

Множество n-угольников вида (4) обозначим через Тогда — класс тривиальных n-угольников. При класс является свободным классом, соответствующим центральному классу n-угольников; он имеет степень свободы 2, определяется многочленом и в булевой алгебре циклических классов является верхним соседним к классу тривиальных n-угольников.

Пусть теперь К содержит все корни степени из 1. Тогда существует классов

Все n-угольники, принадлежащие классам (5), т. е. все n-угольники (4), мы назовем правильными n-угольниками. Правильными будем также называть все тривиальные n-угольники. В нетривиальном правильном n-угольнике все вершины различны.

Класс (5) единствен только в случае при Класс соответственно содержит все n-угольники, соответственно n-угольники, поэтому для всякого допустимого поля к любой 1- или n-угольник является правильным. При этом случай является несколько особым, ибо из всех классов (5) только при является атомарным; все остальные классы (5) при содержат класс тривиальных n-угольников.

Множество правильных n-угольников, т. е. объединение циклических классов (5), вообще говоря, циклическим классом не является: действительно, сумма двух n-угольников из различных классов (5) не является правильным n-угольником. Оно является классом только при

Сумма всех классов (5) определяется при многочленом (теорема 5 гл. 8), а -многочленом Отсюда следует, что сумма классов (5) является классом -правильных n-угольников; однако только при всякий -правильный n-угольник является правильным n-угольником.

Следствие из теоремы 1. Пусть К содержит все корни степени из 1. Атомарными циклическими классами являются: класс тривиальных n-угольников (при единственный) и, кроме того, при классов правильных n-угольников с центром тяжести о (в сумме они составляют центральный класс -правильных n-угольников) и классы -кратно пройденных правильных n-угольников с центром тяжести о (где -всевозможные нетривиальные делители числа ).

Это следствие обосновывается следующими рассуждениями.

В любом из классов n-угольников для всякой точки а можно указать единственный n-угольник с началом а. Если -первообразный. корень степени из 1, то все классы теоремы 1 суть классы n-угольннков, где

Обозначим n-угольник с началом а через (так что это исходящий из точки а n-угольник).

Тогда правильный n-угольник. Если взаимно просто с то -тоже первообразный корень и тоже правильный n-угольник; множество его вершин совпадает с только нумерация будет иной: условимся говорить, получен из -хордовым обходом, где I взаимно просто с общем же случае если первообразный корень степени из то есть кратно пройденный правильный n-угольник [т. е. n-угольник с началом а]; при многоугольник будет собственно периодическим.

Многоугольник имеет центр тяжести а. При все n-угольники (в том числе и многократно пройденные n-угольники) в силу (3) имеют центр тяжести о.

Подведем итог сказанному:

Теорема 2. Если А — правильный n-угольник, то всякий n-угольник, полученный из него -хордовым обходом (где I взаимно просто с также является правильным. Если -делитель то хордовый n-угольник правильного n-угольника А является правильным n-угольником; при он имеет тот же центр тяжести, что и исходный А.

Упражнения

(см. скан)