§ 3. Центр тяжести n-угольника. Нуль-изобарический класс

Под центром тяжести n-угольника мы будем понимать точку из V, т. е. среднее арифметическое вершин n-угольника. Прия центр тяжести называется также серединой n-угольника (отрезка).

Каждому n-угольнику поставим в соответствие тривиальный n-угольник, каждая вершина которого является центром тяжести исходного. Полученное отображение обозначим через :

Образ n-угольника при нашем отображении мы будем называть n-угольником центра тяжести, или просто центром тяжести исходного n-угольника Ясно, что есть линейное отображение пространства переводящее в класс тривиальных n-угольников; для всякого тривиального n-угольника имеем

Отсюда вытекает следующее свойство отображения а:

— центр тяжести центра тяжести n-угольника совпадает с (первым) центром тяжести. (Отсюда видно, что отображение а является проекцией: см. § 4 гл. 2.)

Многоугольники с центром тяжести О, т. е. такие, что

образуют циклический класс, так как равенство (5) есть иная форма записи циклической системы

(все уравнения этой системы совпадают). Этот циклический класс является ядром линейного отображения а; он обозначается через и состоит если вернуться в исходное пространство всех n-угольников, (обычный) центртяжести которых совпадает с началомо пространства

Изобаричными мы будем называть два n-угольника имеющие один и тот же центр тяжести:

Условие (6), очевидно, эквивалентно равенству

Свойство «изобарнчности» есть отношение эквивалентности в множестве всех n-угольников, совместимое с линейными операциями в оно задает разбиение множества всех n-угольников на изобарические классы. Всякий -уголышк изобаричен своему центру тяжести [см. (4)].

Два тривиальных n-угольника изобаричны тогда и только тогда, когда они совпадают. Отсюда следует, что всякий изобарический класс содержит ровно один тривиальный n-угольник, являющийся общим центром тяжести всех n-угольников этого класса. Этот тривиальный n-угольник является представителем изобарического класса.

является изобарическим классом, содержащим назовем его нуль-изобарическим классом. [Всякий изобарический класс является смежным классом Если то смежный класс не является подпространством а значит, циклическим классом; единственный циклический класс, являющийся изобарическим