§ 3. Второе доказательство основной теоремы. Основная диаграмма

Вернемся к теории n-угольников. Пусть выполнены все условия § 1 гл. 1. Если циклическое отображение, то через

обозначается образ n-угольника А при отображении Легко проверить, что относительно этого «умножения» на пространство всех n-угольников является К -модулем.

Однако при кольцо не является кольцом главных идеалов. Чтобы иметь возможность применить теорему об идеал-вложении, придется перейти к кольцу главных идеалов Для этого определим умножение многочлена и n-угольника формулой

Теперь является -модулем и

По теореме 3 гл. 6 идеал свободен от квадратов. Поэтому структура

является конечной булевой алгеброй. По теореме 2 отображение является антиизоморфизмом на структуру Значит, и эта структура является конечной булевой алгеброй в структуре подпространств векторного пространства

Для произвольного идеала имеем

Действительно,

Но по теореме 1 гл. 2 ядра циклических отображений являются циклическими классами, и равенство (14) доказывает справедливость следующего утверждения:

Структура состоит из циклических классов n-угольников.

Итак, снова получена

Основная теорема. Циклические классы n-угольников образуют конечную булеву алгебру, она является подструктурой структуры подпространств векторного пространства (ср. § 2 гл. 6.)

Первое доказательство основной теоремы опиралось на идемпотеиты, конструкцию китайской теоремы об остатках и идемпотепт-вложение (в специальной форме -вложения). Второе доказательство обходится без этих вспомогательных средств и основывается только на понятии -модуля и идеал-вложении.

Замечание. При этом получено, очевидно, и новое не использующее циклических проекций доказательство теоремы 5 гл. 8 о связи между делителями многочлена и циклическими классами. Действительно, в конце § 2 мы установили изоморфизм структуры делителей на булеву алгебру которая, как показывает (14), состоит из циклических классов n-угольников:

является также -модулем. Из определения (12) следует, что а в силу (14)

Следовательно, отображение является также антиизоморфизмом структуры идеалов кольца на булеву алгебру циклических классов (ср. доказательство теоремы 5 гл. 8).

Рис. 61. (см. скан) Основная диаграмма. обозначает подстановку

Таким образом, цель, поставленная нами в гл. 8, достигнута, и мы можем сформулировать заключительную теорему об изоморфизме между рассматриваемыми булевыми алгебрами (см. также изображенную на рис. 61 основную диаграмму, где просуммированы полученные результаты). Отображение (теорема 5 гл. 8),

являющееся результатом последовательного выполнения отображений обозначим

Теорема 3. Отображения являются изоморфизмами булевых алгебр

на булеву алгебру циклических классов n-угольников Элементам булевых алгебр соответствующим друг другу при изоморфизмах теоремы 2 гл. 8, они ставят в соответствие один и тот же циклический класс.

Доказательство. Запишем набор из пяти соответствующих друг другу элементов булевых алгебр Если и К, — мультипликативная группа поля К, то

где есть искомый набор. Этим элементам соответствуют циклические классы

Первое, второе и четвертое равенства справедливы в силу (15), пятое — в силу равенств (7) гл. 2.

Упражнения

(см. скан)