§ 2. Основные теоремы о циклических отображениях и циклических классах

Вернемся к теории n-угольников. Пусть выполнены все условия § 1 гл. 1. Через обозначим кольцо многочленов над Оно является кольцом главных идеалов, а также алгеброй над полем Если в произвольный многочлен вместо х подставить то получим циклическое отображение элемент коммутативной алгебры циклических отображений. Подстановках задает гомоморфизм на В силу теоремы 4 гл. 2 ядром этого гомоморфизма является идеал, порожденный многочленом

Сравнение эквивалентно равенству в

Теорема 3. Многочлен в свободен от квадратов.

Доказательство. Многочлен не является ни нулем, ни единицей кольца Хорошо известно, что многочлен, не свободный от квадратов, должен иметь со своей производной общий множитель, отличный от единицы. Но нетривиальный общий множитель у многочленов может существовать только в том случае, когда многочлен нулевой, т. е. если в поле К, что противоречит предположению гл. 1 о характеристике поля К-

Пусть число простых делителей многочлена в кольце равно и

где попарно не ассоциированные в силу теоремы 3 простые делители

Обозначим через многочлен деления круга из (см. приложение I). Тогда может быть представлен в виде произведения

Поэтому не меньше числа сомножителей в правой части (8), т. е. числа делителей С другой стороны, конечно, не больше, чем поэтому

Если поле рациональных чисел), то многочлены деления круга, как известно, неприводимы и (8) является разложением на простые множители. В этом случае Второе равенство в выполняется, если поле К содержит все корни степени из 1 (например, если -поле комплексных чисел). Многочлен всегда является простым делителем независимо от поля К и числа

Циклические проекции являются образами идемпотентных элементов из при гомоморфизме Из теорем 1, 2 и 3 следует

Теорема 4. Существует ровно 2 циклических проекций. Всякое циклическое отображение ассоциировано с некоторой циклической проекцией, т. е. для всякого

циклического отображения существует циклическая проекция и обратимое циклическое отображение такие, что

В силу леммы, циклическая проекция, ассоциированная с циклическим отображением определена однозначно; обозначим ее через Из теоремы 4 следует, что множество всех циклических отображений распадается на конечное число классов ассоциированных элементов. Вот еще одна формулировка теоремы 4:

Теорема 4. Алгебра состоит из классов ассоциированных элементов; циклические проекции образуют полную систему представителей этих классов.

Теперь можно вернуться к рассмотрению циклических классов n-угольников. Здесь нам будет полезна

Теорема 5. Для циклических отображений следующие утверждения эквивалентны:

В частности, для всякого циклического отображения

Доказательство. Очевидно, что Если то (действительно, если то из следуют обратные включения. Значит, 2) 3) и 2)

В частности, положим тогда, так как то также и утверждения 3) и 4) превращаются в равенства (10) и (11).

Далее, рассмотрим утверждения:

Учитывая, что 1°, 2°, (10), (11) справедливы также и для легко получить эквивалентность 1) и ; 2) и 2); 3) и 3); 4) и 4). Но каждое из утверждений эквивалентно равенству [В самом деле, для 1) и 2)

это следует из леммы; для 4) — из теоремы 7 гл. 2.] В силу формул (7) гл. 2, 3) эквивалентно равенству а последнее в силу теоремы 7 гл. 2 эквивалентно тому, что или на основании равенства (7) и теоремы 7 из гл. 2.

Следствием теорем 4 и 5 является

Теорема 6. Всякое циклическое отображение является квазипроекцией.

Первое доказательство. В каждом коммутативном кольце с единицей из следует Если элемент а ассоциирован с идемпотентным элементом то следовательно, Это утверждение в силу теоремы 4 применимо к каждому циклическому отображению но по теореме 5 из следует, что Кегср, т. е. что квазипроекция.

Второе доказательство. Пусть — циклическое отображение. По теореме 8 гл. согласно (10) и (11), Из теоремы 8 гл. 2 теперь вытекает, что —квазипроекция.

В силу теоремы 1 гл. 2 циклические классы -уголь-ников определяются как ядра циклических отображений. В силу теоремы 5 два циклических отображения имеют одинаковые ядра тогда и только тогда, когда они ассоциированы. По теореме 4 существует ровно 2 классов ассоциированных элементов. Отсюда следует, что существует ровно циклических классов n-угольников.

Тот факт, что (при заданном существует только конечное число (а именно 2 циклических классов n-угольников, составляет внушительную часть основной теоремы о циклических классах.

Чтобы разобраться детальнее в строении циклических классов, полезно подробнее ознакомиться с циклическими проекциями.

В силу (10) и (11) всякому циклическому отображению отвечает единственная циклическая проекция имеющая то же самое ядро и тот же образ, что и Рассмотрим циклическую проекцию Она

называется дополнительной к и удовлетворяет «обратным» (по сравнению с условиям

Множество содержит все циклические проекции (действительно, каждая циклическая проекция ассоциирована сама с собой) и совпадает с множеством дополнительных проекций В силу (12) и (13) совпадают множества:

1) ядер циклических отображений,

2) ядер циклических проекций,

3) образов при циклических проекциях,

4) образов при циклических отображениях.

Но первое из них (а значит, и все четыре) является множеством циклических классов (теорема 1 гл. 2). Подчеркнем еще следующий факт:

Теорема 7. Всякий циклический класс является образом при некоторой циклической проекции.

Мы ответили теперь на все поставленные в гл. 2 вопросы, касающиеся циклических классов и циклических отображений.

Булева алгебра ( циклических проекций (см. § 4 гл. 5) содержит и 1 и состоит, согласно теореме 4, из 2 элементов. С помощью -вложения (см. теорему 3 гл. 5) ее можно отобразить в структуру подпространств В результате в множестве (в булевой Алгебре) 2 циклических классов (см. теорему 9 гл. 2) индуцируется структура исходной булевой алгебры (теорема 7). Итак, имеет место

Основная теорема. Циклические классы n-угольников образуют конечную булеву алгебру.

Эта булева алгебра является подструктурой структуры подпространств векторного пространства Если число простых делителей многочлена в то число циклических классов n-угольников равно 2.

При всей необозримости структуры подпространств понятие циклического класса n-угольников выделяет в ней конечную булеву решетку.

Выводы из основной теоремы таковы:

Сумма и пересечение двух циклических классов n-угольников снова являются циклическими классами;

является прямой суммой атомарных циклических классов — атомарных элементов булевой алгебры циклических классов;

всякий n-угольник однозначно представим в виде суммы Пугольников из атомарных циклических классов.

Понятие атомарных циклических классов, как и число этих классов, зависит от поля К. Грубо говоря, n-угольники атомарных классов обладают определенными свойствами регулярности. В гл. 10—12 мы рассмотрим этот вопрос более подробно.

Пример: Так как то существует циклических классов n-угольников. Следовательно, в § 5 гл. 5 перечислены все циклические классы n-угольников и полученное там разложение (рис. 46) является разложением на «атомарные n-угольники».

Процедура нахождения атомарных циклических классов или атомарных компонент пространства n-угольников может быть следующей. В соответствии с «китайской конструкцией» для всякого делителя двучлена определим многочлен удовлетворяющий условиям

Тогда -отличные от нуля попарно ортогональные циклические проекции, сумма которых равна 1; они являются атомарными циклическими проекциями в (теорема 2 гл. 5); атомарные циклические классы n-угольников, и разложение А на атомарные компоненты имеет вид

n-угольники, для которых заданные атомарные компоненты обращаются в нуль, образуют циклический класс, - и каждый из 2 циклических классов можно получить

этим способом. Например, если то n-угольники, у которых отсутствует аффинно-правильная компонента, являются призмами (см. § 5 гл. 5).

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)