Доказательство. Многочлен
не является ни нулем, ни единицей кольца
Хорошо известно, что многочлен, не свободный от квадратов, должен иметь со своей производной общий множитель, отличный от единицы. Но нетривиальный общий множитель у многочленов
может существовать только в том случае, когда многочлен
нулевой, т. е. если
в поле К, что противоречит предположению гл. 1 о характеристике поля К-
Пусть число простых делителей многочлена
в кольце
равно
и
где
попарно не ассоциированные в силу теоремы 3 простые делители
Обозначим через
многочлен деления круга из
(см. приложение I). Тогда
может быть представлен в виде произведения
Поэтому
не меньше числа сомножителей в правой части (8), т. е. числа
делителей
С другой стороны,
конечно, не больше, чем
поэтому
Если
поле рациональных чисел), то многочлены деления круга, как известно, неприводимы и (8) является разложением
на простые множители. В этом случае
Второе равенство в
выполняется, если поле К содержит все корни
степени из 1 (например, если
-поле комплексных чисел). Многочлен
всегда является простым делителем
независимо от поля К и числа
Циклические проекции являются образами идемпотентных
элементов из
при гомоморфизме
Из теорем 1, 2 и 3 следует
Теорема 4. Существует ровно 2 циклических проекций. Всякое циклическое отображение ассоциировано с некоторой циклической проекцией, т. е. для всякого
циклического отображения
существует циклическая проекция
и обратимое циклическое отображение такие, что
В силу леммы, циклическая проекция, ассоциированная с циклическим отображением
определена однозначно; обозначим ее через
Из теоремы 4 следует, что множество всех циклических отображений распадается на конечное число классов ассоциированных элементов. Вот еще одна формулировка теоремы 4:
Теорема 4. Алгебра
состоит из
классов ассоциированных элементов; циклические проекции образуют полную систему представителей этих классов.
Теперь можно вернуться к рассмотрению циклических классов n-угольников. Здесь нам будет полезна
Теорема 5. Для циклических отображений
следующие утверждения эквивалентны:
В частности, для всякого циклического отображения
Доказательство. Очевидно, что
Если
то
(действительно, если
то
из
следуют обратные включения. Значит, 2) 3) и 2)
В частности, положим
тогда, так как
то также
и утверждения 3) и 4) превращаются в равенства (10) и (11).
Далее, рассмотрим утверждения:
Учитывая, что 1°, 2°, (10), (11) справедливы также и для
легко получить эквивалентность 1) и
; 2) и 2); 3) и 3); 4) и 4). Но каждое из утверждений
эквивалентно равенству
[В самом деле, для 1) и 2)
это следует из леммы; для 4) — из теоремы 7 гл. 2.] В силу формул (7) гл. 2, 3) эквивалентно равенству
а последнее в силу теоремы 7 гл. 2 эквивалентно тому, что
или
на основании равенства (7) и теоремы 7 из гл. 2.
Следствием теорем 4 и 5 является
Теорема 6. Всякое циклическое отображение является квазипроекцией.
Первое доказательство. В каждом коммутативном кольце с единицей из
следует
Если элемент а ассоциирован с идемпотентным элементом
то
следовательно,
Это утверждение в силу теоремы 4 применимо к каждому циклическому отображению
но по теореме 5 из
следует, что
Кегср, т. е. что
квазипроекция.
Второе доказательство. Пусть
— циклическое отображение. По теореме 8 гл.
согласно (10) и (11),
Из теоремы 8 гл. 2 теперь вытекает, что
—квазипроекция.
В силу теоремы 1 гл. 2 циклические классы
-уголь-ников определяются как ядра циклических отображений. В силу теоремы 5 два циклических отображения имеют одинаковые ядра тогда и только тогда, когда они ассоциированы. По теореме 4 существует ровно 2 классов ассоциированных элементов. Отсюда следует, что существует ровно
циклических классов n-угольников.
Тот факт, что (при заданном
существует только конечное число (а именно 2 циклических классов n-угольников, составляет внушительную часть основной теоремы о циклических классах.
Чтобы разобраться детальнее в строении циклических классов, полезно подробнее ознакомиться с циклическими проекциями.
В силу (10) и (11) всякому циклическому отображению
отвечает единственная циклическая проекция
имеющая то же самое ядро и тот же образ, что и
Рассмотрим циклическую проекцию
Она
называется дополнительной к и удовлетворяет «обратным» (по сравнению с
условиям
Множество
содержит все циклические проекции (действительно, каждая циклическая проекция ассоциирована сама с собой) и совпадает с множеством дополнительных проекций
В силу (12) и (13) совпадают множества:
1) ядер циклических отображений,
2) ядер циклических проекций,
3) образов
при циклических проекциях,
4) образов
при циклических отображениях.
Но первое из них (а значит, и все четыре) является множеством циклических классов (теорема 1 гл. 2). Подчеркнем еще следующий факт:
Теорема 7. Всякий циклический класс является образом
при некоторой циклической проекции.
Мы ответили теперь на все поставленные в гл. 2 вопросы, касающиеся циклических классов и циклических отображений.
Булева алгебра (
циклических проекций (см. § 4 гл. 5) содержит
и 1 и состоит, согласно теореме 4, из 2 элементов. С помощью
-вложения (см. теорему 3 гл. 5) ее можно отобразить в структуру подпространств
В результате в множестве (в булевой Алгебре) 2 циклических классов (см. теорему 9 гл. 2) индуцируется структура исходной булевой алгебры (теорема 7). Итак, имеет место
Основная теорема. Циклические классы n-угольников образуют конечную булеву алгебру.
Эта булева алгебра является подструктурой структуры подпространств векторного пространства
Если
число простых делителей многочлена
в
то число циклических классов n-угольников равно 2.
При всей необозримости структуры подпространств
понятие циклического класса n-угольников выделяет в ней конечную булеву решетку.
Выводы из основной теоремы таковы:
Сумма и пересечение двух циклических классов n-угольников снова являются циклическими классами;
является прямой суммой атомарных циклических классов — атомарных элементов булевой алгебры циклических классов;
всякий n-угольник однозначно представим в виде суммы Пугольников из атомарных циклических классов.
Понятие атомарных циклических классов, как и число этих классов, зависит от поля К. Грубо говоря, n-угольники атомарных классов обладают определенными свойствами регулярности. В гл. 10—12 мы рассмотрим этот вопрос более подробно.
Пример:
Так как
то существует
циклических классов n-угольников. Следовательно, в § 5 гл. 5 перечислены все циклические классы n-угольников и полученное там разложение (рис. 46) является разложением на «атомарные n-угольники».
Процедура нахождения атомарных циклических классов или атомарных компонент пространства n-угольников может быть следующей. В соответствии с «китайской конструкцией» для всякого делителя
двучлена
определим многочлен
удовлетворяющий условиям
Тогда
-отличные от нуля попарно ортогональные циклические проекции, сумма которых равна 1; они являются атомарными циклическими проекциями в
(теорема 2 гл. 5);
атомарные циклические классы n-угольников, и разложение А на атомарные компоненты имеет вид
n-угольники, для которых заданные атомарные компоненты обращаются в нуль, образуют циклический класс, - и каждый из 2 циклических классов можно получить
этим способом. Например, если
то n-угольники, у которых отсутствует аффинно-правильная компонента, являются призмами (см. § 5 гл. 5).
Упражнения
(см. скан)