§ 3. Спектр

Пусть поле разложения многочлена над первообразный корень степени из единицы: Под спектром многочлена мы будем понимать множество всех корней степени из единицы:

Оно распадается на классов, каждый из которых состоит из корней, принадлежащих одному простому в делителю Каждый такой класс мы будем называть точкой спектра.

Функция, определенная на множестве (16), с областью значений принимающая равные значения на сопряженных корнях, называется заданной на спектре характеристической функцией. Если характеристические функции, то функция равна 1 в точках, где обе функции принимают значение 1, и во всех остальных точках; равна 1 в точках, где хотя бы одна из функций или принимает значение 1, и в остальных точках. Характеристические функции с операциями образуют булеву алгебру из элементов. Ее атомарными элементами являются функции, принимающие значение 1 ровно в одной точке и в остальных точках.

Понятие многочлена, идемпотентного по модулю тесно связано с понятием характеристической функции.

Сравнение по модулю означает равенство на спектре:

1°. эквивалентно утверждению для всех

Действительно, эквивалентно утверждению а оно в свою очередь эквивалентно утверждению для всех т. е. для всех .

2°. эквивалентно утверждению для всех

Другими словами, многочлен из идемпотентен тогда и только тогда, когда он принимает на спектре лишь значения и 1.

Доказательство. Согласно 1°, данное сравнение эквивалентно утверждению для всех а так как элементы поля то последнее равенство выполняется только тогда, когда или 1.

Если многочлен равен пулю на одном из корней степени из I, то он обращается в также на Всех сопряженных к нему корнях; если принимает

значение 1 на некотором корне степени из 1, то он принимает то же значение на всех сопряженных к нему корнях [достаточно применить предыдущее утверждение к Отсюда и из 2° следует, что

Многочлены из идемпотентные по модулю являются характеристическими функциями на спектре многочлена Несравнимые по модулю многочлены, согласно 1°, на спектре различаются.

Мы получили новую интерпретацию идемпотентов факторкольца а следовательно, и циклических проекций. Построение циклических проекций сводится к решению интерполяционной задачи в

Теорема 8. Пусть -делитель Если

то т. е. циклическая проекция отображает множество всех n-угольников на циклический класс, определенный многочленом Если

то

Доказательство, а) Условия для эквивалентны сравнениям (6) и (7). Следовательно, и справедливо (15).

[Замечание. Многочлен (10) теоремы 3 решает следующую интерполяционную задачу: для делителя многочлена найти многочлен степени принимающий на корнях значение 1, а на остальных корнях степени из единицы значение 0.]

b) Наложенные на условия эквивалентны тому, что удовлетворяет сравнениям (6) и (7); поэтому есть многочлен Таким образом, наше утверждение вытекает из теоремы 4.

Упражнение.

(см. скан)