§ 3. Дополнительные проекции

Две циклические проекции мы назовем взаимно дополнительными (ср. § 4 гл. 2), если они переводятся друг в друга инволютивным оператором . Таким образом, каждой циклической проекции отвечает единственная дополнительная проекция

Проекциями, дополнительными к являются о. Покажем, что образы и ядра этих четырех отображений определяются следующей диаграммой:

Доказательство. известны (см. теоремы 1 и 2 из § 2). В силу второго правила из § 2 гл. 3 соответствующие им центральные классы — это . Ядра этих проекций получаются из формулы где — циклическая проекция.

Применение теоремы 9 гл. 2 к проекциям приводит к следующему результату:

Теорема 3.

Ее первое утверждение равносильно однозначности представления каждого n-угольника в виде суммый раз пройденного n-угольника и n-угольника, все хордовые n-угольники которого имеют центр тяжести . Это разложение

Рис. 48.

легко получить геометрически. Обозначим через В периодический n-угольник — раз пройденный n-угольник центров тяжести последовательно взятых хордовых n-угольников n-угольника А. Тогда равенство и будет искомым разложением. В частности, многоугольник В есть дважды пройденный n-угольник, вершины которого являются серединами «главных диагоналей» А (т. е. средними арифметическими пар противоположных вершин), а есть -параллело-грамм с центром тяжести о (т. е. n-угольник, середины всех диагоналей которого совпадают с , см. рис. 48). Максимальная размерность многоугольников в этом случае равна

На рис. 49 изображена диаграмма включений четырех циклических классов теоремы 3 и четырех основных классов (см. § 4 гл. 1). Отрезки, соединяющие два класса

этой диаграммы, означают существование проекции (одной из проекций отображающей верхний класс на нижний. Параллельные отрезки означают одинаковые проекции.

Упражнения

(см. скан)