ГЛАВА 1. ЦИКЛИЧЕСКИЕ КЛАССЫ n-УГОЛЬНИКОВ

§ 1. n-угольники, пространство n-угольников

Пусть натуральное число и К-(коммутативное) поле, характеристика которого взаимно проста с Элементы этого поля будем обозначать буквами нулевой элемент — символом 0, единичный — 1. Обратный к элемент (он существует в силу требования, наложенного на характеристику поля) обозначим [Для поля характеристики 0, в частности для поля рациональных чисел это требование выполняется при любом ]

Обозначим через V векторное пространство над элементы из назовем его точками, нулевой вектор -его началом. Размерность V может быть какой угодно, конечной или бесконечной, но она не должна равняться нулю (т. е. V не должно сводиться к одному лишь началу ).

n-угольником назовем любой упорядоченный набор элементов из n-угольники мы будем обозначать также заглавными буквами буквой О мы обозначим нулевой n-угольник Множество всех n-угольников обозначим

Сложение n-угольников и умножение их на элементы поля К определим равенствами

(см. рис. 14 и 15). При этом множество всех n-угольников становится векторным пространством над К, а именно

Это пространство мы будем называть пространством n-угольников,

Наряду с формальным определением n-угольника мы будем использовать и геометрическую терминологию.

Точки мы назовем вершинами n-угольника; упорядоченные пары последовательных вершин его сторонами (где натуральные числа берутся таким образом, тоже сторона n-угольника); разности векторами сторон.

Рис. 14. Сумма двух треугольников.

Рис. 15. Умножение n-угольника на число.

Если четно, то и назовем противоположными вершинами n-угольника, его противоположными сторонами. Однако при этом не следует забывать, что на n-угольники можно также смотреть как на элементы векторного пространства

В определении n-угольника не предполагается, что его вершины обязательно различны. Тривиальным мы будем называть n-угольник т. е. раз повторенный n-угольник. Множество тривиальных n-угольников мы будем обозначать символом Легко проверить, что подпространство пространства