§ 3. Аффинно-правильные n-угольники

Аффинно-правильными центральными классами мы будем называть симметрические центральные классы степени 2, содержащиеся в -правильном центральном классе [Единственный аффинно-правильный центральный класс степени -это нулевой класс; аффинно-правильный центральный класс степени 1 существует только при это — — класс n-угольниковс центром тяжести Свободные классы, соответствующие аффинно-правильным центральным классам, назовем свободными аффинно-правильными классами. Назовем n-угольник аффинно-правильным, если он принадлежит аффинно-правильному классу.

Все аффинно-правильные n-угольники являются -правильными. Каждый такой n-угольник самое большее двумерен (т. е. расположен в плоскости). Все тривиальные n-угольники и все n-угольники аффинно-правильны.

Поскольку -правильный центральный класс при определяется многочленом деления круга (теорема 2 гл. 10), справедлива

Теорема 4. Для отличные от аффинно-правильные центральные классы определяются квадратичными симметрическими делителями многочлена

Аффинно-правильными n-угольниками являются параллелограммы; при наше новое определение совпадает

с введенным в гл. 1. В случаях всякий правильный n-угольник является аффинно-правильным.

Теорема 5. Нетривиальные аффинно-правильные n-угольники над произвольным полем (таким, что существуют только при .

Действительно, уже над полем рациональных чисел многочлен деления круга неприводим и, следовательно, имеет квадратичные делители только тогда, когда он сам квадратичен, т. е. когда

Если К содержит все корни степени из 1, то квадратичный симметрический делитель со старшим коэффициентом 1 имеет вид

-первообразный корень степени из 1).

Отсюда с учетом изоморфизма (4) следует

Теорема 6. Если К содержит все корни степени из 1, то при всякий аффинно-правильный n-угольник с центром тяжести о однозначно представим в виде суммы правильного n-угольника и правильного n-угольника, где некоторый первообразный корень степени из 1.

Иллюстрацией к этой теореме может служить пример из § 3 гл. 11.

Лемма. Пусть -квадратичный симметрический делитель многочлена

последовательность элементов из К, определенная формулами

Тогда в

Доказательство. В поле разложения над К элемент с имеет вид где первообразный

корень степени из 1. Положим

Тогда и справедлива рекуррентная формула Отсюда следует, что Многочлен равен произведению двучленов где Так как и из следует то сомножители входят в разложение многочлена попарно. Лемма доказана.

Как показывает доказательство леммы, последовательность (14) не может иметь меньший чем период, и если четно то Кроме того, Из леммы следует

Теорема 7. Пусть Если многочлен имеет один квадратичный симметрический делитель в то он в этом кольце полностью разлагается в произведение квадратичных симметрических делителей. Таким образом, нетривиальные аффинно-правильные n-угольники над К существуют тогда и только тогда, когда разлагается в на квадратичные симметрические делители.

Итак, при заданных и К из существования одного ненулевого аффинно-правильного центрального класса следует существование таких классов. Их сумма является центральным классом -правильных n-угольников.

Кроме того, из существования разложения (15) многочлена следует существование аналогичного разложения многочленов для всех делителей числа

(случай в доказательстве не нуждается), или, что то же самое, существование нетривиальных аффинно-правильных n-угольников (где

Из сказанного следует, что лемма описывает способ, с помощью которого одному аффинно-правильному классу

ставится в соответствие некоторая последовательность циклических классов. Остановимся на этом подробнее.

Пусть аффинно-правильный центральный класс, определенный квадратичным симметрическим делителем многочлена Построим последовательность циклических классов п-угольииков

где удовлетворяют соотношениям (14). Здесь класс тривиальных n-угольников; при имеем За исключением этих двух случаев, являются делителями многочлена (см. доказательство леммы), и, следовательно, соответствующие классы являются симметрическими центральными классами степени 2. Так как то при нечетном различные классы (17) представлены набором а при четном набором

В силу теоремы 4 и леммы, если (и только в этом случае), -правильный центральный класс.

Если класс состоит из кратно пройденных аффинно-правильных n-угольников с центром тяжести о (действительно, является делителем см. (16) и лемму из § 4 гл. 8).

Для случаев соответствующие классы уже указаны.

Выясним, какие геометрические соотношения существуют между классами (17). С этой целью рассмотрим отображений в себя:

где Здесь тривиальный n-угольник; все имеют своим началом различаются между собой только направлением обхода: Многоугольник получается из А

-хордовым обходом (см. примечание на Если к взаимно просто с то множество вершин n-угольника совпадает с если то есть пройденный хордовый n-угольник n-угольника А.

Мы хотим показать, что отображения n-угольники аффинно-правильного центрального класса переводят в n-угольники класса Предварительно докажем

Предложение. Если выполнены все условия леммы, то

Доказательство. В поле разложения многочлена над К квадратный трехчлен имеет вид (12); поэтому корни многочлена являются также корнями многочлена . Следовательно, наше предложение справедливо над некоторым расширением поля поэтому оно справедливо и в

Из этого предложения следует, что класс содержится в классе Если то а это означает, что что и требовалось доказать.

Итак, отображения ставят в соответствие аффинно-правильному n-угольнику А с центром тяжести о аффинно-правильные n-угольники с центром тяжести , многократно пройденные аффинно-правильные n-угольники с центром тяжести (где -нетривиальный делитель числа и (для тривиальный n-угольник. Если А принадлежит классу то его образы распределяются по классам В симметрическом классе вместе с лежит также

Сформулируем полученные результаты в виде теоремы, аналогичной теореме 2 из гл. 11:

Теорема 8. Если -аффинно-правильный n-угольник, то все n-угольники, которые получаются из -хордовым обходом, где к взаимно просто с также являются аффинно-правильными. Если делитель то хордовые

n-угольники n-угольника А являются аффинно-правильными n-угольниками, которые при имеют тот же центр тяжести, что и А.

Вернемся к разложению многочленов на квадратичные симметрические делители. Если при существует один квадратичный симметрический делитель многочлена то имеет место разложение

где удовлетворяют соотношениям (14) [см. (15), (16) и формулу (8) из гл. 6; при разложение (19) тривиально; сомножители определены только при Структурный изоморфизм (4) переводит (19) в следующее разложение пространства n-угольников

Здесь все классы соответственно являются симметрическими центральными классами степени 2.

Итак, разложение (20) входят класс тривиальных n-угольников и симметрические центральные классы степеней 1 и 2; все они при описываются системой типа (7) (теорема 3).

Упражнение.

(см. скан)