§ 2. Специальный тип циклических систем уравнений

Имея в виду возможность разложения векторного пространства n-угольников на симметрические циклические классы (в общем случае такая возможность существует только над специальными полями), рассмотрим в этом и следующем параграфах симметрические циклические

классы n-угольников минимальной степени, а именно:

Класс тривиальных n-угольников и симметрические центральные классы степеней 1 и 2. (5)

Класс тривиальных n-угольников— это единственный свободный циклический класс степени 1; он симметричен. При четном существует центральный симметрический класс степени 1; это —класс -кратно пройденных n-угольников с центром тяжести о. Этот класс определяется многочленом Других симметрических классов степени 1 не существует.

Из классов (5) подробного изучения заслуживают только симметрические центральные классы степени 2. Они могут существовать лишь при и определяются квадратичными симметрическими делителями многочлена т. е. многочленами из вида

(см. следствие теоремы 2 и теорему 5 гл. 9).

В булевой алгебре симметрических циклических классов n-угольников все классы (5) атомарны.

Пусть квадратичный симметрический многочлен в пока не будем предполагать, что он делит Его коэффициенты определяют циклическую систему уравнений

Симметрический циклический класс, являющийся ее решением, обозначим через Степень свободы этого класса 2, принадлежащие ему n-угольники не более чем двумерны.

Система (7) имеет следующий геометрический смысл: существует такое с что сумма равна с-кратной вершине сумма равна с-кратной вершине

и Из нее следует, что все вершины n-угольника начиная с третьей, можно выразить в виде линейной комбинации вершин Для этого построим по числу с последовательность

Из первых уравнений системы (7) вытекает, что

Выразив и из (9), запишем два последних уравнения системы (7) в виде

Если и , то для всех В этом случае мы будем говорить, что последовательность (8) является периодической с периодом Заметим, что при этом .

Примеры последовательностей (8) для различных с:

Теорема 3. Пусть Система вида (7) может определять из ненулевых классов лишь класс тривиальных n-угольников и центральные симметрические классы степеней 1 и 2. Система (7) определяет центральный

симметрический класс степени 2 тогда и только тогда, когда последовательность (8) периодическая с периодом

Доказательство. Свободный симметрический класс степени 2 существует только при четном -это класс определенный многочленом (см. теорему 1). Очевидно, что он не может быть представлен циклической системой (7). Центральный симметрический класс степени 2 является классом тогда и только тогда, когда с удовлетворяет условию (6). Если (6) не выполняется, то -симметрический циклический класс степени т. е. или нулевой класс — 2) тривиальных n-угольников, или, при класс

Второе утверждение теоремы 3: означает, что при любом выборе система (7) разрешима. Так как из первых уравнений выражаются через по формуле (9), то с учетом этих уравнений последние два уравнения системы, т. е. уравнения (10), должны тождественно удовлетворяться при любых Для этого необходимо и достаточно, чтобы в обеих частях этих уравнений коэффициенты при совпадали, т. е. чтобы

[Если уравнения (10) выполняются при любых то они выполняются, в частности, при ахфо, и при что приводит к равенствам (11); с другой стороны, если выполняются (11), то система (10) удовлетворяетсяпри любых Равенства (11) означают, что последовательность (8) периодическая с периодом

Итак, утверждение, что с определяет симметрический центральный класс степени 2, эквивалентно условию (6), а оно в свою очередь - утверждению, что элементу с соответствует периодическая последовательность (8) с периодом

Таким образом, подобные периодические последовательности элементов из К оказываются тесно связанными с центральными симметрическими классами степени 2.

Упражнения

(см. скан)