Единица этого кольца имеет вид
где
- попарно ортогональные идемпотентные элементы
Элементы
атомарны в булевой алгебре
всякий элемент в
представляет собой частичную сумму выражения
(см. пример 3 из § 1 гл. 5 и теорему 2 гл. 5).
Вложение (7) переводит единицу (8) кольца
в
а всякую частичную сумму — в соответствующую частичную сумму выражения
При этом идеал
состоит из всех элементов кольца вида (
и, следовательно, изоморфен
Более того, справедливо утверждение: каждый идеал
кольца
является частичной суммой выражения
Доказательство. Имеем
[вложение
следует из того, что
и из (8); вложение
из того, что
Всякий идеал
или равен нулевому идеалу, или совпадает с
[ясно, что
с другой стороны, так как идеал
изоморфен полю, то
содержит только нулевой идеал (0) и самого себя].
Теорема 2. Если
(конечная) прямая сумма полей, то отображение (7) является изоморфизмом
на (полную!) структуру идеалов кольца
Таким образом, в прямой сумме
полей всякий идеал есть главный идеал, порожденный некоторым идемпотентным элементом; структура идеалов является булевой алгеброй из 2 элементов.