§ 3. Частный случай идемпотент-вложения

Рассмотрим частный случай -модуля — само (коммутативное) кольцо (см. в § 1 пример 2). Подмодулями в нем являются его идеалы. В частности, есть главный идеал, порожденный элементом Через обозначим структуру идеалов кольца По теореме 1 отображение

является изоморфизмом булевой алгебры на подструктуру структуры идеалов

Особенно проста связь между идемпотентами и идеалами если представляет собой прямую сумму полей

Единица этого кольца имеет вид

где - попарно ортогональные идемпотентные элементы

Элементы атомарны в булевой алгебре всякий элемент в представляет собой частичную сумму выражения (см. пример 3 из § 1 гл. 5 и теорему 2 гл. 5).

Вложение (7) переводит единицу (8) кольца в

а всякую частичную сумму — в соответствующую частичную сумму выражения При этом идеал состоит из всех элементов кольца вида ( и, следовательно, изоморфен

Более того, справедливо утверждение: каждый идеал кольца является частичной суммой выражения

Доказательство. Имеем [вложение следует из того, что и из (8); вложение из того, что Всякий идеал или равен нулевому идеалу, или совпадает с [ясно, что с другой стороны, так как идеал изоморфен полю, то содержит только нулевой идеал (0) и самого себя].

Теорема 2. Если (конечная) прямая сумма полей, то отображение (7) является изоморфизмом на (полную!) структуру идеалов кольца

Таким образом, в прямой сумме полей всякий идеал есть главный идеал, порожденный некоторым идемпотентным элементом; структура идеалов является булевой алгеброй из 2 элементов.