§ 6. Циклическая квазипроекция

Примеры предыдущего параграфа показывают, что при и 6 многие циклические отображения переводят множество всех n-угольников в циклические классы. Между тем нас интересует вопрос о том, являются ли все циклические отображения отображениями на циклические классы, т. е. переводят ли они все пространство в (те или иные) циклические классы.

В качестве примера приведем дальнейшее исследование этого вопроса для отображения при

Пусть А — произвольный n-угольник; тогда т. е. n-угольник середин сторон, является параллелограммом. Обратно, пусть -заданный параллелограмм. Существует ли «описанный вокруг него» n-угольник, т. е. существует ли n-угольник А, такой, что Если то что можно сказать о множестве описанных n-угольников? Существуют ли среди них параллелограммы, и если то сколько именно параллелограммов?

Мы утверждаем следующее:

1°. -всегда параллелограмм. 2°. Для всякого параллелограмма В существует такой n-угольник А, что Для всякого параллелограмма В существует единственный параллелограмм А, такой, что

Прежде чем доказывать. эти предложения, объединим их:

Теорема 10. Пусть ; тогда отображает множество всех n-угольников на циклический класс параллелограммов, в множестве параллелограммов действует взаимно однозначно.

Теорема 10 утверждает, что есть квазипроекция.

Очевидно, что проекцией не является: не совпадает со своим квадратом.

Доказательство Пусть параллелограмм, так что

Найдем решение неоднородной системы

где четвертое уравнение представляет собой знакопеременную сумму первых трех и поэтому является их следствием. Положим тогда остальные три вектора найдутся однозначно и мы получим частное решение системы (11):

Общее решение соответствующей однородной системы есть циклический класс ; он состоит из дважды пройденных отрезков с центром тяжести о, т. е. из n-угольников . Общее решение исходной системы (11) есть сумма частного решения (12) и общего решения однородной системы

где с произвольно.

Множество решений (13) всегда содержит параллелограмм, ибо требование, чтобы «знакопеременная сумма вершин равнялась нулю», приводит к единственному значению Согласно (10),

Решение (13) данной системы имеет следующий геометрический смысл: чтобы получить четырехугольник, описанный вокруг параллелограмма достаточно, выбрав любую точку с, отразить ее относительно точки полученную точку отразить относительно затем относительно Так как формула (13) дает все решения системы, то всякий о. исанный -уголь-ник можно получить таким образом. Описанный параллелограмм, как следует из (14), получится в том случае,

когда с — четвертая вершина параллелограмма, натянутого на точки -центр тяжести заданного параллелограмма; рис. 43).

Приведенный разбор примеров циклических отображений ставит ряд дополнительных общих вопросов. Например, всякое ли циклическое отображение является квазипроекцией, т. е., согласно теореме 8, для всякого ли циклического отображения образ и ядро — взаимно дополнительные подпространства пространства

Рис. 43.

Упражнения

(см. скан)