ГЛАВА 16. РАЦИОНАЛЬНЫЕ КОМПОНЕНТЫ n-УГОЛЬНИКА

§ 1. Q-правильные n-угольники

n-угольник А называется -правильным, если все его хордовые n-угольники изобаричны (здесь любой нетривиальный делитель числа Множество -правильных n-угольников обозначим через

Всякий n-угольник и всякий n-угольник ( — простое число) -правильны: таким образом, для понятие -правильности бессодержательно. Чтобы оценить, насколько оно ограничительно в случае составного полезно разобрать несколько частных случаев (см. рис. 62—85).

В гл. 4 были рассмотрены классы изобарически распадающихся n-угольников: если то n-угольник, все хордовые n-угольники которого изобаричны, называется -кратно изобарически распадающимся. Множество таких n-угольников образует циклический класс есть класс n-угольников; класс тривиальных n-угольников.

Очевидно, что является пересечением всех классов где

является свободным циклическим классом (как пересечение свободных циклических классов).

Пример совпадает с классом параллелограммов -класс аффинно-правильных n-угольников (§ 1 гл. 4). Вообще, -правильными n-угольниками

простое нечетное число) являются -параллелограм-мы, имеющие равную нулю знакопеременную сумму вершин. Это такие n-угольники, в которых все -наборы последовательных вершин имеют одну и ту же знакопеременную сумму. Их «параметрическим представлением» является

Итак, -правильный n-угольник можно построить следующим образом: выберем произвольно точек, построим их знакопеременную сумму (хотя бы путем последовательного достраивания четвертой вершины параллелограмма) и затем отразим выбранные точки относительно

1. Пусть n-угольник А тогда и только тогда -правилен, когда для каждого простого делителя числа все его хордовые n-угольники изобаричны.

Доказательство. Если то Так как для всякого делителя числа существует простой делитель такой, что то для всякого класса, входящего в первое пересечение (1), найдется содержащийся в нем класс Этими меньшими классами и можно ограничиться в пересечении:

Пример. класс -параллелограммов (см. теорему 4 гл. 1).

Все хордовые n-угольники -правильного n-угольника (где -правильны. Действительно, при все хордовые n-угольники хордового n-угольника для А сами являются хордовыми n-угольниками для А и потому изобаричны. Можно задать обратный вопрос: как влияет -правильность и изобаричность хордовых многоугольников на -правильность всего n-угольника? Например, если выбрать два аффинно-правильных n-угольника и перенумеровать их вершины так: то n-угольник является -правильным.

В частности, при специальном выборе

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

аффинно-правильных n-угольников получаются «мальтийский крест» и «звезда Давида» (рис. 82, 77).

-правильные n-угольники с центром тяжести о образуют центральный циклический класс Для него также справедливы формулы (1) и (2), если в них все свободные классы заменить соответствующими центральными классами

Упражнения

(см. скан)