§ 3. Комплексные компоненты n-угольника

Пусть, как и раньше, поле К содержит все корни степени из 1. Всякий n-угольник А однозначно разлагается в сумму n-угольников из атомарных циклических классов, т. е. в силу теоремы 1 в сумму n-угольников, где пробегает все корни степени из 1. Слагаемое, соответствующее заданному корню назовем -компонентой А, а все эти слагаемые — комплексными компонентами А.

Наша задача — найти комплексные компоненты n-угольника Запишем прежде всего очевидное равенство

Поскольку сумма всех корней степени из 1 при равна [см. (2)], имеем

Тем самым n-угольник представлен в виде суммы n-угольников из атомарных классов теоремы 1, а именно в виде суммы n-угольников с началом в точке , в силу однозначности атомарного разложения мы получили комплексные компоненты n-угольника Аналогично

где справа стоят комплексные компоненты n-угольника и т. д. В силу (6) достаточно сложить все эти разложения; при этом мы соберем все компоненты, относящиеся к одному корню их сумма даст n-угольник, а именно n-угольник с началом

Как известно, все остальные вершины этого n-угольника получаются из его начала умножением соответственно на

Тем самым мы полностью решили поставленную задачу. [Этот результат можно описать следующим образом. Запишем один под другим n-угольники с началом где Тогда центр тяжести точек, лежащих на главной диагонали этой таблицы, является первой вершиной (8) -компоненты n-угольника А. Остальные вершины этой компоненты получаются умножением первой последовательно на они являются также центрами тяжести систем точек, лежащих на параллелях к главной диагонали.]

n-угольник с началом (8) является образом n-угольника при циклическом отображении с -набором коэффициентов т. е. (см. теорему 3 гл. 2) при циклическом отображении

Сформулируем полученный результат:

Теорема 3. Если поле К содержит все корни степени из 1, то

является однозначным разложением произвольного n-угольника А на n-угольники из атомарных циклических классов.

Слагаемое является n-угольником, -проекцией на множество n-угольников.

Следствие. Отображение проектирует множество всех n-угольников на класс n-угольников, являющийся атомарным циклическим классом, определенным многочленом

Другими словами, являются атомарными циклическими проекциями. Это следствие можно взять за основу, проверив его непосредственным подсчетом (подобно двум первым утверждениям теоремы 1 гл. 4). Тогда из него

будет вытекать теорема 3. Однако, поскольку строение отображений само по себе представляет интерес, мы получим наше следствие из общих теорем гл. 8.

В гл. 8 указаны два пути нахождения циклической проекции, отображающей на циклический класс, определенный многочленом

1) Для отображение есть нужная нам проекция (см. формулу (15) гл. 8). Вычисление с помощью формулы, содержащей производную (теорема 3 гл. 8), приводит к следующему результату:

Подстановка —дает искомую проекцию

2) По теореме 8а гл. 8 нужная нам проекция получается подстановкой в многочлен из равный 1 на и на остальных корнях степени из 1.

Рассмотрим делитель многочлена дополнительный к

Он равен нулю на всех корнях степени из 1, отличных от если же подставить в него то он обращается в Поэтому достаточно поделить рассматриваемый многочлен на и произвести подстановку

Заметим еще раз, что ненулевыми комплексными компонентами -правильных n-угольников с центром тяжести о могут быть только правильные n-угольники с центром тяжести .

Пример. На гауссовой числовой плоскости (случай всякий параллелограмм с центром тяжести о однозначно представим в виде суммы двух квадратов с центром тяжести о, проходимых в противоположных направлениях. На рис. разлагается на -компоненту А:

(кликните для просмотра скана)

и

Аналогично всякий 3-угольник с центром тяжести о однозначно представим в виде суммы двух проходимых в противоположных направлениях правильных 3-угольников с центром тяжести о; всякий аффинно-правильный 6-угольник с центром тяжести виде суммы двух проходимых в противоположных направлениях правильных 6-угольников с центром тяжести о (рис. 91).

Упражнения

(см. скан)