§ 5. Факторкольцо кольца главных идеалов

Пусть заданы кольцо главных идеалов и элемент из далее, пусть факторкольцо по главному идеалу Рассмотрим следующие структуры:

Делители обозначим через Соответствие

является антиизоморфизмом структур

Далее, канонический гомоморфизм отображающий на индуцирует изоморфизм структуры идеалов, содержащих на структуру идеалов кольца Так как идеалы, содержащие суть не что иное, как идеалы, порожденные делителями то отображение

является изоморфизмом на Очевидно, справедлива

Теорема 3. Произведение отображений является антиизоморфизмом -подструктуры на структуру идеалов кольца Всякий идеал из имеет вид где Если то тогда и только тогда, когда

Из теоремы 3 следует, что всякий идеал кольца является главным. Однако может содержать делители нуля, и тогда его нельзя назвать кольцом главных идеалов.

Пусть а — произвольный элемент из тогда идеал в и справедлива

Лемма, а) Если то равенство эквивалентно

Доказательство, а) Если то С другой стороны, так как то допускает представление отсюда следует, что

Пусть из а) следует, что в силу теоремы эквивалентно

Напомним, что элемент тогда и только тогда идемпотентен когда смежный класс идемпотентен в кольце Согласно § 3, существует изоморфизм

на булеву подалгебру структуры

Произведение отображений дает возможность получить все идеалы кольца а отображение по крайней мере один из них. Естественно, возникает вопрос: является ли отображение отображением на, или, что то же самое, всякий ли идеал в который может быть записан в виде где порождается идемпотентным смежным классом? Ответ на этот вопрос дает «китайская теорема об остатках» (см. теорему 4).

Теорема 4 («китайская теорема об остатках»). Пусть элемент кольца главных идеалов представим в виде произведения попарно взаимно простых элементов: Тогда существуют смежные классы

со следующими свойствами:

a) смежные классы (11) попарно ортогональны, а их сумма является смежным классом единицы,

Доказательство, а) Пусть Так как взаимно просты, сравнение разрешимо в Обозначим через левую часть сравнения, в котором есть некоторое его решение. Тогда

Следовательно, и

Последние два сравнения справедливы потому, что они выполняются для попарно взаимно простых

В факторкольце сравнения (14) и (15) переходят в равенства. Утверждение а) доказано.

Из сравнений (14), (15) следует, что идемпотентны [достаточно (14) умножить на Значит, тоже идемпотентны [см. 12)]; , следовательно, . С другой стороны, в силу (13) существуют такие, что следовательно, Умножив последнее равенство на получим Таким образом, и утверждение следует из леммы.

Теорема 4 (частный случай «китайской теоремы об остатках»). Пусть -элемент кольца главных идеалов и -делитель взаимно простой с Тогда система сравнений

разрешима в [однозначно ], причем и 1—е идемпотентны и

Следствие. Пусть, как всегда, кольцо главных идеалов, свободно от квадратов и факторкольцо по

Всякий идеал в является главным, порожденным некоторым идемпотентным элементом (см. теорему 2 гл. 6).

Доказательство. Из теоремы 3 следует, что всякий идеал в может быть записан в виде где а из теоремы 4 — что при свободном от квадратов он порождается идемпотентным смежным классом.

Теорема 5. Если кольцо главных идеалов и —свободный от квадратов элемент вида структуры являются булевыми алгебрами из 2 элементов. Произведение антиизоморфно отображает через на а отображение является изоморфизмом на

Доказательство. 1) является булевой алгеброй из 2 элементов (см. § 4); значит, тоже булевы алгебры с этим же количеством элементов (так как антиизоморфизм и изоморфизм).

2) является изоморфизмом (см. только что доказанное следствие). Поэтому булева алгебра тоже содержит 2 элементов.

Условимся обозначать через решение системы сравнений (16), (17). В силу (18) имеет место

Правило.

Так как взаимно дополнительные элементы из то, применяя и пользуясь правилом, получим

Теорема 6 («китайский изоморфизм»). Если кольцо главных идеалов и свободно от квадратов, то отображение

является изоморфизмом -подструктуры на булеву алгебру идемпотентных элементов кольца

Доказательство. Рассмотрим произведение следующих отображений: 1) антиизоморфизма структуры

на ; 2) изоморфизма структуры на ; 3) «дополнительного» отображения на является инволютивным антиизоморфизмом на изоморфизма структуры на Последовательность указанных отображений действует следующим образом:

и является изоморфизмом.

Имея в виду специально теорию n-угольников, придадим связи между рассматриваемыми булевыми алгебрами более удобный для нас вид. При этом, чтобы избежать антиизоморфизмов, заменим булевы алгебры двойственными к ним алгебрами

Рис. 58.

Теорема 5. При условиях теоремы являются булевыми алгебрами из элементов, связанными естественными изоморфизмами отображающими соответственно на на на

Обозначим через второй экземпляр и рассмотрим булевы алгебры

Тогда «дополнительное» отображение в является инволютивным антиизоморфизмом булевой алгебры изоморфизмом на «китайский изоморфизм» отображает на

Остается указать следующую интерпретацию сформулированного в этом параграфе правила. Пусть построим две цепочки отображений

и

переводящих в идеал из (отдельные шаги этих цепочек — это изоморфизмы на на на на на (см. рис. 58)). В силу правила результирующие отображения являются одним и тем же изоморфизмом на