§ 2. Алгебра циклических отображений

Прежде чем перейти к примерам, мы хотим очертить общие рамки наших исследований.

Пусть отображение множества в себя. Через обозначим образ n-угольника А при этом

отображении. Полный образ и ядро отображения обозначим так:

Пусть -эндоморфизмы векторного пространства (линейные отображения в себя). Сложение, умножение на число и произведение эндоморфизмов определяются равенствами

так что умножение эндоморфизмов — это их последовательное выполнение. Обозначим через нулевой эндоморфизм для которого , и через -единичный эндоморфизм для которого для всех А. По отношению к названным операциям множество эндоморфизмов образует алгебру над К, которую мы обозначим через и -нулевой и единичный элементы этой алгебры.

Циклические отображения являются частными случаями эндоморфизмов. Отображение

является циклическим и определяется -набором коэффициентов [При имеем ] Очевидно, что Степени

эндоморфизма образуют циклическую группу порядка и переводят каждый n-угольник А в множество n-угольников, получающихся из А циклическими подстановками вершин. Очевидно, что всякий циклический класс инвариантен относительно

Пусть теперь циклическое отображение, определяемое -набором Тогда систему (1) можно переписать так:

Поскольку любой n-угольник, получена

Теорема 3. Циклическое отображение с набором коэффициентов предстаиимо в алгебре в виде

Разумеется, само отображение не представляет никакого геометрического интереса; однако всякое циклическое отображение оказывается представимым в виде линейной комбинации степеней (2), которые в силу теоремы 2 линейно независимы. Действия с этими линейными комбинациями полностью определяются операциями в алгебре Равенства

показывают, как производится сложение циклических отображений и умножение на число При перемножении двух линейных комбинаций степеней следует учитывать, что поэтому

где

Таким образом, произведение циклических отображений снова является циклическим отображением.

Коэффициенты произведения не меняются при замене и наоборот. Отсюда следует, что произведение циклических отображений коммутативно:

Теорема 4. Циклические отображения образуют коммутативную алгебру над К, подалгебру алгебры с базисом

Эта алгебра является одновременно групповой алгеброй (над К) циклической группы, порожденной элементом

Мы будем обозначать ее через более подробно рассмотрим в § 1 гл. 8.

Из коммутативности циклических отображений в силу теоремы 1 вытекает, что циклические классы инвариантны относительно всех циклических отображений.

Теорема 5. Если циклическое отображение, а произвольный циклический класс, то

Доказательство. В силу теоремы является ядром некоторого циклического отображения . Если , то поэтому тем более Но так как то откуда следует, что .