§ 3. Теорема Редеи

Как всякий целочисленный многочлен, многочлен деления круга порождает главный идеал в кольце Справедлива следующая

Теорема. В кольце главный идеал при порождается многочленами где пробегает все простые делители числа

Ограничимся свободным от квадратов [см. (3)]. Теорема доказывается индукцией по числу простых делителей числа Для простого утверждение справедливо. Пусть где простое число, не делящее Положим

В силу

Корнями многочлена являются первообразные корни степени из корнями первообразные корни степени из пробегает все собственные делители числа Результант многочленов равен

является единицей в кольце целых алгебраических чисел. Действительно, единицами являются как первообразные корни некоторой степени из 1, и как показывает соотношение

С другой стороны, результант многочленов как известно, представим в виде

причем коэффициенты многочленов и принадлежат тому же кольцу, что и коэффициенты В нашем случае все многочлены целочисленны, поэтому а из его обратимости следует, что Итак, в кольце

и, следовательно,

Отсюда по индукции доказывается окончательное утверждение теоремы.

Пример. Представление соответствующее теореме Редей, легко указать при где различные простые числа. Найдутся числа такие, что Тогда

Сомножители, стоящие перед многочленами деления круга, являются целочисленными многочленами.

Упражнения

(см. скан)