ПРЕДЫСТОРИЯ КНИГИ

Осенью 1964 г. во время конференции Общества усовершенствования преподавания естественных наук я задался вопросом, нельзя ли для оживления курса геометрии предложить тему, доступную студентам, связанную с систематической теорией, но не слишком отягощенную элементарно-геометрическими рассмотрениями. Я занялся тогда исследованием n-угольников на основе некоторого аксиоматического точечного исчисления. Основную роль при этом играет подходящим образом специализированная диэдральная группа (абелева группа, расширенная присоединением смежного класса некоторого инволютивного элемента). Этот подход, который лег в основу статьи [21], опубликованной в Grundziigen der Mathematik, и был более подробно развит в курсе лекций в январе — феврале 1966 г., использовал Э. Шмидт, который доказал уже известную к тому времени основную теорему для рационального и вещественного числовых полей с помощью диагонализации циклической матрицы.

Летом 1966 г., Г. Киндер, побуждаемый к тому В. Пейасом, предложил новый подход к этой теории на языке векторных пространств. Он показал, что связь между циклическими классами n-угольников и многочленами проясняет касающиеся циклических классов закономерности-.

Эта книга излагает содержание двухчасовой лекции, которую я прочитал осенью 1966 г. в Мичиганском университете и, в развернутом виде, зимой 1967/68 г.- в Кильском университете.

При подготовке настоящего издания я часто с благодарностью думал о математиках, которые во время докладов и в личных беседах со мной проявляли интерес к этой небольшой теории и рекомендовали опубликовать ее изложение.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ

В конце введения и в гл. 1 и 2 определяются понятия циклического класса n-угольников и циклического отображения. Главы 1—4 посвящены в первую очередь примерам.

В гл. 5 и в § 1 гл. 6 развиваются алгебраические методы, с помощью которых в § 2 гл. 6 доказывается основная теорема о циклических классах.

После алгебраической подготовки, которой отведены гл. 7 и § 1—2 гл. 9, мы в гл. 8 и 9 переходим к систематическому рассмотрению булевой алгебры циклических классов n-угольников. Результаты сведены в основную диаграмму (рис. 61, стр. 157).

В гл. 10—12 рассматривается разложение n-угольников в сумму n-угольников из атомарных циклических классов для случаев, когда основным полем является поле рациональных, комплексных или действительных чисел.

Можно сократить чтение этой книги, ограничившись лишь гл. 1, § 1—5 гл. 2, § 1—4 гл. 5 и гл. 6.