Заметка о сложении n-угольников

1. Сложение n-угольников.

Напомним, что под n-угольником мы понимаем произвольный набор точек из Пусть -два таких n-угольника.

Рис. 47.

Если принадлежат нуль-изобарическому классу (имеют центр тяжести , то их сумма имеет ясный геометрический смысл: вершина В является четвертой вершиной параллелограмма, натянутого на точки о — общий центр тяжести для и при этом центр тяжести В также совпадает с . На рис. 47 построена сумма трижды пройденного n-угольника и дважды пройденного n-угольника с общим центром тяжести о; здесь и сумма В есть ризма.

Пусть теперь произвольные n-угольники. По-прежнему вершина есть четвертая вершина параллелограмма но теперь о — обычная точка, геометрически не связанная с n-угольниками а лежащая «где попало». Однако геометрические свойства суммы все-таки сохраняются и в этом случае. Так, сумма трижды пройденного отрезка и дважды пройденного n-угольника по-прежнему является призмой; легко

верить, что

Для центров тяжести имеет место соотношение

Однако если изобаричны: только в том случае принадлежит тому же изобарическому классу, что когда

Для изобарических n-угольников можно ввести новую операцию сложения из центра тяжести, не выводящую из их изобарического класса. Определим новую сумму как n-угольник, вершина которого является четвертой вершиной для тройки где общий центр тяжести Очевидна связь между новой суммой (обозначим ее через и старой:

Эта связь позволяет чисто алгебраическим путем установить формальные свойства новой суммы.

Упражнение. Множество всех n-угольников евклидовой плоскости с произвольно выбранным началом образует группу относительно сложения. Параллелограммы образуют подгруппу этой группы. Образуют ли подгруппу квадраты?

2. Сдвиг сложения в абелевой группе.

Пусть абелева группа и Введем новую операцию, которую будем называть сдвигом сложения на элемент

Будем говорить также, что эта операция получена параллельным переносом на элемент

обычного группового сложения, в том смысле, что к ней приводит цепочка отображений

Так как то перенос (2) устанавливает изоморфизм между Отсюда следует, что абелева группа с нулевым элементом

Пусть ( подгруппа группы Подгруппой, изоморфной относительно сдвига сложения является смежный класс Наоборот, каждый смежный класс можно превратить в группу, заменив групповое сложение сдвигом сложения на элемент принадлежащий этому классу.

Если эндоморфизм группы то множество -прообразов элемента

является абелевой группой по отношению к операции

Наконец, цусть -коммутативное кольцо с элементами идемпотентный элемент в Отображение (умножение на есть идемпотентный эндоморфизм кольца при котором переходит в себя. Ядро этого эндоморфизма обозначим через при этом снова

Так как для всех , то перенос (2) устанавливает изоморфизм колец в последнем -нулевой элемент.

Упражнения

(см. скан)

3. Сложение изобарических n-угольников из центра тяжести.

В векторном пространстве всякий изобарический класс (множество n-угольников с общим центром

тяжести является смежным классом по нуль-изобарическому классу; здесь тривиальный n-угольник, общий центр тяжести этого класса. Поэтому изобарический класс относительно следующим образом определенной операции сложения) (сложениеиз центра тяжести):

образует абелеву группу с нулем Очевидно, что

Мы далее не будем пользоваться этим «сдвинутым» сложением. Отметим, однако, два случая, когда обычная сумма n-угольников совпадает с нововведенной, и поэтому ее можно понимать в смысле «сложения из центра тяжести»:

1) сумма n-угольников из нуль-изобарического класса;

2) знакопеременная сумма нечетного числа изобарических n-угольников [к 2) заметим, что для изобарических имеем

Примеры. К случаю 1). Циклический класс n-угольников назовем атомарным, если он отличен от нулевого класса и не содержит никакого отличного от циклического класса. Из теоремы 1 гл. I следует, что класс тривиальных n-угольников является атомарным (минимальный свободный циклический класс); все остальные атомарные классы — центральные (почему?).

В дальнейшем мы покажем, что всякий n-угольник может быть единственным образом представлен в виде суммы n-угольников из атомарных циклических классов.

Любая сумма n-угольннков из атомарных классов относится к случаю 1); прибавление тривиального n-угольника означает только параллельный перенос (в V) полученного ранее n-угольника. Отсюда следует, что искомое разложение на атомарные классы имеет внутренний геометрический смысл.

К случаю 2). Всякая знакопеременная сумма нечетного числа изобарических образов заданного n-угольника А есть сумма 2). В самом деле, если, например, изобарические циклические отображения, то есть сумма 2). Если есть изобарическая циклическая проекция, то - ее -дополнение и

вершиной этого n-угольника является четвертая вершина параллелограмма, у которого остальные три вершины — это вершина вершина и центр тяжести А. Для с этим построением совпадает данная в § 7 гл. 2 конструкция параллелограмма который имеет одинаковый параллелограмм середин сторон с данным n-угольником А.

Внутри изобарического класса, являющегося абелевой группой относительно сдвига сложения всякое изобарическое отображение действует как эндоморфизм; иначе говоря,

[ср. формулу (1) ГЛ. 3].

Можно сделать еще один шаг в рассмотрении связанных со сдвигом сложения конструкций, определив следующим образом сдвиг сложения в множестве изобарических циклических отображений

Относительно так определенного -сложения это множество становится абелевой группой; присоединив же сюда ранее определенную операцию умножения (последовательное выполнение отображений), мы получим коммутативное кольцо эндоморфизмов изобарического класса, нулевым элементом которого является эндоморфизм о. При этом, например, оидля каждого n-угольника

Таким образом, по отношению к операциям множество изобарических циклических отображений образует кольцо эндоморфизмов любого циклического класса, в котором сложение понимается в смысле сложения из центра тяжести.

Итак, мы выяснили, что с геометрической точки зрения достаточно ограничиться свободными циклическими классами, поскольку положение начала о является для нас несущественным. В дальнейшем, имея это в виду, мы нигде не будем добиваться формулировок, не зависящих от выбора начала.