§ 4. Булева алгебра, порожденная хордовыми усреднениями, и ее атомарные элементы

Как известно, хордовые усреднения где являются циклическими проекциями и как элементы булевой алгебры порождают некоторую подалгебру (§ 5 гл. 5). Элементы не являются свободными образующими алгебры т. е. не все атомарны в Справедлива

Теорема 6. Циклические проекции образуют систему атомарных элементов алгебры Эта алгебра содержит элементов и в случае состоит из всех циклических проекций.

Доказательство. По теореме принадлежат они отличны от нуля, попарно ортогональны и их сумма равна 1. Отсюда (в силу теоремы 2 гл. 5) следует, что атомарны в некоторой подалгебре, принадлежащей и содержащей элементов. Из формулы (8) вытекает, что эта подалгебра совпадает с При количество простых делителей равно (§ 2 гл. 6), а количество циклических проекций равно (теоремы и 2 гл. 8); следовательно, все они содержатся в Теорема доказана.

Фигурирующее в теореме 5 произведение можно сократить: при можно ограничиться максимальным собственным делителем числа Запись комбинаций из с помощью операций [как, например, в теореме 5 или в формуле (4)] удобна тем, что изоморфизмом (или антиизоморфизмом она непосредственно переносится на соответствующие комбинации циклических классов. С другой стороны, раскроем скобки

в произведении теоремы 5 и воспользуемся правилом из § 2 гл. 4. Тогда мы и представим в виде целочисленной линейной комбинации из элементов где

Пример: (причем всегда а при еще

В этом примере коэффициенты при в представлениях для равны и сумма их равна нулю при Эта закономерность имеет общий характер. Действительно, на основании формулы обращения Мёбиуса из (8) следует

Теорема 7.

Здесь - функция Мёбиуса натурального аргумента определенная следующим образом: если есть произведение попарно различных простых делителей; если и не свободно от квадратов; при этом всех

Итак, мы получили два представления (теоремы 5 и 7). Применяя законы де Моргана к формуле теоремы 5 и учитывая, что эти представления можно переписать так:

Упражнение.

(см. скан)

(см. скан)