§ 4. Булева алгебра, порожденная хордовыми усреднениями, и ее атомарные элементы
Как известно, хордовые усреднения где 
являются циклическими проекциями и как элементы булевой алгебры 
порождают некоторую подалгебру 
(§ 5 гл. 5). Элементы 
не являются свободными образующими алгебры 
т. е. не все 
атомарны в 
Справедлива
Теорема 6. Циклические проекции 
образуют систему атомарных элементов алгебры 
Эта алгебра содержит 
элементов и в случае 
состоит из всех циклических проекций.
Доказательство. По теореме 
принадлежат 
они отличны от нуля, попарно ортогональны и их сумма равна 1. Отсюда (в силу теоремы 2 гл. 5) следует, что 
атомарны в некоторой подалгебре, принадлежащей 
и содержащей 
элементов. Из формулы (8) вытекает, что эта подалгебра совпадает с 
При 
количество простых делителей 
равно 
(§ 2 гл. 6), а количество циклических проекций равно 
(теоремы 
и 2 гл. 8); следовательно, все они содержатся в 
Теорема доказана.
Фигурирующее в теореме 5 произведение можно сократить: при 
можно ограничиться максимальным собственным делителем 
числа 
Запись комбинаций из 
с помощью операций 
[как, например, в теореме 5 или в формуле (4)] удобна тем, что изоморфизмом 
(или антиизоморфизмом 
она непосредственно переносится на соответствующие комбинации циклических классов. С другой стороны, раскроем скобки
в виде целочисленной линейной комбинации из элементов 
где 
(причем всегда 
а при 
еще 
в представлениях для 
равны 
и сумма их равна нулю при 
Эта закономерность имеет общий характер. Действительно, на основании формулы обращения Мёбиуса 
из (8) следует
- функция Мёбиуса натурального аргумента 
определенная следующим образом: 
если 
есть произведение 
попарно различных простых делителей; 
если 
и не свободно от квадратов; при этом 
всех 
(теоремы 5 и 7). Применяя законы де Моргана к формуле теоремы 5 и учитывая, что 
эти представления можно переписать так:
