§ 2. Случай поля комплексных чисел

Если —поле комплексных чисел, то для всякого корни степени из 1 имеют вид

Всякое одномерное подпространство , где представляет собой гауссову числовую плоскость. Отображение

здесь представляет собой поворот вокруг нулевой точки о на угол Каждая вершина n-угольника (1) получается из предыдущей вершины с помощью этого поворота. Следовательно, правильные в нашем смысле n-угольники на гауссовой плоскости являются правильными n-угольниками в обычном (евклидовом) смысле (рис. 87).

Рис. 87.

При где n-угольники суть обыкновенные правильные выпуклые n-угольники с положительным обходом вершин и центром тяжести о (см. рис. 88); n-угольники — это те же n-угольники с обратным порядком обхода вершин. Они образуют новый циклический класс: при оба эти класса правильных n-угольников различны; общим для них является только нулевой n-угольник. Если то существуют еще и другие правильные n-угольники с центром тяжести о, например при класс пройденных в положительном (соответственно в отрицательном) направлении правильных пятиконечных звезд с центром тяжести о (рис. 89).

Всего над полем комплексных чисел существует атомарных циклических классов n-угольников. Ими являются:

При тривиальные n-угольники; дважды пройденные n-угольники ; квадраты квадраты, пройденные в противоположном направлении.

Рис. 88.

Рис. 89.

При тривиальные n-угольники; правильные n-угольники правильные n-угольники, пройденные в противоположном направлении; правильные звезды правильные звезды, пройденные в противоположном направлении.

При — тривиальные n-угольники; трижды пройденные n-угольники ; дважды пройденные правильные n-угольники правильные треугольники, дважды пройденные в противоположном направлении; правильные n-угольники правильные n-угольники, пройденные в противоположном направлении.