§ 3. Рациональные компоненты n-угольника

Как и для всякого делителя для многочлена деления круга где существует однозначно определенная циклическая проекция, отображающая множество всех n-угольников на циклический класс, определенный многочленом (см. § 2 гл. 8). Обозначим ее через

Проекция соответствует многочлену при изоморфизме структур на (см. § 1 гл. 8). При этом произведению делителей из изоморфна булева сумма соответствующих проекций и взаимно простым делителям соответствуют ортогональные проекции. Поскольку многочлены для всех попарно взаимно просты и их

произведение равно проекции для всех попарно взаимно ортогональны и их сумма равна 1.

Рис. 86. Разложение n-угольника с центром тяжести на его рациональные компоненты.

Отсюда получается однозначное разложение произвольного n-угольника А на n-угольники из циклических классов (5):

Циклическая проекция отображающая множество всех n-угольников на класс тривиальных, совпадает с ; следовательно, центр тяжести n-угольника А. При многоугольник есть раз пройденный Q-npaвильный n-угольник с центром тяжести .

Эти n-угольники мы будем называть рациональными компонентами А, а n-угольник -рациональной -правильной компонентой А. Если то разложение (7) является атомарным (см. рис. 86).

Для всякого делителя циклическую проекцию можно получить из и его производной с помощью формулы (11) гл. 8. Существует еще одно интересное представление

Теорема 5.

Доказательство. Пусть Рассмотрим многочлен

Он равен 1 на первообразных корнях степени из 1 и 0 на остальных корнях степени из 1. Действительно, на первообразных корнях степени из 1 все сомножители произведения равны 1 (на каждом из таких корней равен равен Остальные корни из 1 либо являются корнями степени либо вообще не являются корнями степени из 1. На первых из них равен 1, а равен 0; на последних равен 0.

Отсюда следует, что является циклической проекцией, отображающей множество всех n-угольников на циклический класс, определенный многочленом (см. теорему 8а гл. 8). Поэтому Теорема доказана.

Приведем формулу, обратную к доказанной в теореме 5:

[Поскольку попарно ортогональны, в формуле (8) можно вместо простой суммы писать также булеву сумму.)

Доказательство. Многочлены связаны следующим сравнением:

Действительно, поскольку многочлен равен 1 на первообразных корнях степени из на осталыэдз

корнях степени из 1, то стоящая справа в (9) сумма равна 1 на всех корнях степени из на всех остальных корнях степени из 1. Таким образом, эта сумма совпадает с на спектре многочлена Если в (9) вместо подставить получим (8).

Упражнение.

(см. скан)