§ 6. Факторкольцо как сумма факторколец

Теорема (дополнение к «китайской теореме об остатках»). Пусть выполнены условия теоремы 4. Тогда

Доказательство. Обозначим через канонический гомоморфизм на Тогда

— гомоморфизм в прямую сумму колец Ядром этого гомоморфизма является идеал Далее, Кегср тогда и только тогда, когда для всех т. е. когда Если - заданные элементы из элементы, рассматриваемые в доказательстве теоремы 4, а), то в силу (12) и (13)

Отсюда следует, что есть отображение на прямую сумму, что и доказывает теорему.

Разложение теоремы можно несколько уточнить:

и

Действительно, частичные суммы суммы всех смежных классов (11) образуют булеву подалгебру алгебры [Это следует из теоремы 4, а) и дополнения 1 к теореме 2 гл. 5.] Посредством (идемпотент-вложение) эта подалгебра отображается в структуру идеалов при этом сумма всех смежных классов (11) отображается в разложение (20). Изоморфизм (21) доказывается следующим образом: индуцированный изоморфизм на прямую сумму переводит но

Следствие из теоремы Если —свободный от квадратов элемент вида то причем -поля.

Для доказательства достаточно применить теорему к взаимно простым делителям и вспомнить, что идеал, порожденный простым элементом, максимальный. Это означает, что факторкольцо по нему является полем.

Итак, если кольцо главных идеалов, а свободен от квадратов, то является прямой суммой полей. Структура идеалов кольца изоморфна булевой алгебре его идемпотентных элементов (ср. теорему 5).